a) Dada la transformación lineal \( T: R^{2} \rightarrow R^{3}: M(T)_{E, B^{\prime}}=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ k & -2 \\ -3 & 3\end{array}\right) \) siendo \( E \) la base canónica de \( R^{2} \) y \( E^{\prime} \) la base canónica de \( R^{3} \), hallar los valores de \( k \) para los cuales \( T \) sea monomorfismo.

Para que la transformación lineal \( T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) sea un monomorfismo, es necesario que su matriz asociada \( M(T)_{E, B^{\prime}} \) tenga rango máximo, que en este caso es 2, ya que estamos trabajando con \( \mathbb{R}^{2} \). La matriz dada es: \[ M(T)_{E, B^{\prime}} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ k & -2 \\ -3 & 3 \end{pmatrix} \] Para determinar el rango de esta matriz, podemos calcular su determinante de las submatrices \( 2 \times 2 \). Si al menos una de estas submatrices tiene un determinante distinto de cero, el rango de la matriz será 2. Consideremos las siguientes submatrices \( 2 \times 2 \): 1. La primera submatriz formada por las dos primeras filas: \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ k & -2 \end{pmatrix} \] El determinante de esta submatriz es: \[ \det\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ k & -2 \end{pmatrix} = (1)(-2) - (-1)(k) = -2 + k = k - 2 \] 2. La segunda submatriz formada por la primera y la tercera fila: \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -3 & 3 \end{pmatrix} \] El determinante de esta submatriz es: \[ \det\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -3 & 3 \end{pmatrix} = (1)(3) - (-1)(-3) = 3 - 3 = 0 \] 3. La tercera submatriz formada por la segunda y la tercera fila: \[ \begin{pmatrix} k & -2 \\ -3 & 3 \end{pmatrix} \] El determinante de esta submatriz es: \[ \det\begin{pmatrix} k & -2 \\ -3 & 3 \end{pmatrix} = (k)(3) - (-2)(-3) = 3k - 6 \] Para que \( T \) sea un monomorfismo, necesitamos que al menos uno de los determinantes sea distinto de cero. Por lo tanto, tenemos las siguientes condiciones: 1. \( k - 2 \neq 0 \) implica \( k \neq 2 \) 2. \( 3k - 6 \neq 0 \) implica \( k \neq 2 \) Ambas condiciones son equivalentes, por lo que la única restricción que debemos considerar es: \[ k \neq 2 \] Por lo tanto, los valores de \( k \) para los cuales \( T \) es un monomorfismo son todos los reales excepto \( k = 2 \): \[ k \in \mathbb{R} \setminus \{2\} \]