a) Dada la transformación lineal \( T: R^{2} \rightarrow R^{3}: M(T)_{E, B^{\prime}}=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ k & -2 \\ -3 & 3\end{array}\right) \) siendo \( E \) la base canónica de \( R^{2} \) y \( E^{\prime} \) la base canónica de \( R^{3} \), hallar los valores de \( k \) para los cuales \( T \) sea monomorfismo.

Para que \( T \) sea un monomorfismo, la matriz asociada \( M(T)_{E, B^{\prime}} \) debe tener rango completo, es decir, su rango debe ser igual a la dimensión de \( \mathbb{R}^2 \), que es 2. En este caso, la matriz es \[ M(T)_{E, B^{\prime}}=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ k & -2 \\ -3 & 3\end{array}\right) \] Para encontrar los valores de \( k \) que mantienen el rango igual a 2, podemos calcular el determinante de cualquier submatriz de \( 2 \times 2 \). Consideremos las dos primeras filas: \[ \text{det}\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ k & -2\end{array}\right) = 1(-2) - (-1)(k) = -2 + k \] Para que esta matriz tenga rango 2, necesitamos que el determinante sea diferente de cero: \[ -2 + k \neq 0 \implies k \neq 2 \] De forma similar, calculamos para las filas (1,3) y (2,3) y llegamos a dos condiciones adicionales: \[ \text{det}\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -3 & 3\end{array}\right) = 0 \quad \text{(ya que es múltiplo de la fila 1)} \] \[ \text{det}\left(\begin{array}{cc}k & -2 \\ -3 & 3\end{array}\right) = k(3) - (-2)(-3) = 3k - 6 \] Ese determinante también debe ser distinto de cero: \[ 3k - 6 \neq 0 \implies k \neq 2 \] Por lo tanto, el único valor a evitar para que \( T \) sea un monomorfismo es \( k = 2 \). Entonces, para que \( T \) sea un monomorfismo, basta con que \( k \neq 2 \).