a) Dada la transformación lineal $$ T: R^{2} ightarrow R^{3}: M(T)_{E, B^{\prime}}=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \ k & -2 \ -3 & 3\end{array} ight) $$ siendo $$ E $$ la base canónica de $$ R^{2} $$ y $$ E^{\prime} $$ la base canónica de $$ R^{3} $$, hallar los valores de $$ k $$ para los cuales $$ T $$ sea monomorfismo.

Question

a) Dada la transformación lineal $$ T: R^{2} ightarrow R^{3}: M(T)_{E, B^{\prime}}=\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \ k & -2 \ -3 & 3\end{array}ight) $$ siendo $$ E $$ la base canónica de $$ R^{2} $$ y $$ E^{\prime} $$ la base canónica de $$ R^{3} $$, hallar los valores de $$ k $$ para los cuales $$ T $$ sea monomorfismo.

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Para que la transformación lineal $$ T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} $$ sea un monomorfismo, es necesario que su matriz asociada $$ M(T)_{E, B^{\prime}} $$ tenga rango máximo, que en este caso es 2, ya que estamos trabajando con $$ \mathbb{R}^{2} $$.

La matriz dada es:

$$
M(T)_{E, B^{\prime}} = \begin{pmatrix}
1 & -1 \
k & -2 \
-3 & 3
\end{pmatrix}
$$

Para determinar el rango de esta matriz, podemos calcular su determinante de las submatrices $$ 2 \times 2 $$. Si al menos una de estas submatrices tiene un determinante distinto de cero, el rango de la matriz será 2.

Consideremos las siguientes submatrices $$ 2 \times 2 $$:

1. La primera submatriz formada por las dos primeras filas:

$$
\begin{pmatrix}
1 & -1 \
k & -2
\end{pmatrix}
$$

El determinante de esta submatriz es:

$$
\det\begin{pmatrix}
1 & -1 \
k & -2
\end{pmatrix} = (1)(-2) - (-1)(k) = -2 + k = k - 2
$$

2. La segunda submatriz formada por la primera y la tercera fila:

$$
\begin{pmatrix}
1 & -1 \
-3 & 3
\end{pmatrix}
$$

El determinante de esta submatriz es:

$$
\det\begin{pmatrix}
1 & -1 \
-3 & 3
\end{pmatrix} = (1)(3) - (-1)(-3) = 3 - 3 = 0
$$

3. La tercera submatriz formada por la segunda y la tercera fila:

$$
\begin{pmatrix}
k & -2 \
-3 & 3
\end{pmatrix}
$$

El determinante de esta submatriz es:

$$
\det\begin{pmatrix}
k & -2 \
-3 & 3
\end{pmatrix} = (k)(3) - (-2)(-3) = 3k - 6
$$

Para que $$ T $$ sea un monomorfismo, necesitamos que al menos uno de los determinantes sea distinto de cero. Por lo tanto, tenemos las siguientes condiciones:

1. $$ k - 2 \neq 0 $$ implica $$ k \neq 2 $$
2. $$ 3k - 6 \neq 0 $$ implica $$ k \neq 2 $$

Ambas condiciones son equivalentes, por lo que la única restricción que debemos considerar es:

$$
k \neq 2
$$

Por lo tanto, los valores de $$ k $$ para los cuales $$ T $$ es un monomorfismo son todos los reales excepto $$ k = 2 $$:

$$
k \in \mathbb{R} \setminus \{2\}
$$
Para que $$ T $$ sea un monomorfismo, $$ k \neq 2 $$.

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