$$ \left\{ \begin{array} { l } { F ( 1 ; 0 ; 0 ) - F ( 0 ; 1 ; 0 ) = ( 0 ; 0 ; 0 ) } \ { F ( 1 ; 0 ; 0 ) + F ( 0 ; 0 ; 1 ) = ( 0 ; 0 ; 0 ) } \ { F ( 1 ; 0 ; 0 ) + F ( 0 ; 1 ; 0 ) - F ( 0 ; 0 ; 1 ) = ( - 3 ; - 3 ; 3 ) } \end{array} ight. $$

Question

$$ \left\{ \begin{array} { l } { F ( 1 ; 0 ; 0 ) - F ( 0 ; 1 ; 0 ) = ( 0 ; 0 ; 0 ) } \ { F ( 1 ; 0 ; 0 ) + F ( 0 ; 0 ; 1 ) = ( 0 ; 0 ; 0 ) } \ { F ( 1 ; 0 ; 0 ) + F ( 0 ; 1 ; 0 ) - F ( 0 ; 0 ; 1 ) = ( - 3 ; - 3 ; 3 ) } \end{array} ight. $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Per risolvere il sistema di equazioni vettoriali dato:

$$
\begin{cases}
F(1; 0; 0) - F(0; 1; 0) = (0; 0; 0) \
F(1; 0; 0) + F(0; 0; 1) = (0; 0; 0) \
F(1; 0; 0) + F(0; 1; 0) - F(0; 0; 1) = (-3; -3; 3)
\end{cases}
$$

Procediamo passo per passo.

### Passo 1: Definizione delle Variabili
Sia:
- $$ A = F(1; 0; 0) $$
- $$ B = F(0; 1; 0) $$
- $$ C = F(0; 0; 1) $$

### Passo 2: Analisi delle Prime Due Equazioni

1. **Prima Equazione:**
   $$
   A - B = (0; 0; 0) \implies A = B
   $$
   
2. **Seconda Equazione:**
   $$
   A + C = (0; 0; 0) \implies C = -A
   $$

### Passo 3: Sostituzione nella Terza Equazione

Sostituendo $$ B = A $$ e $$ C = -A $$ nella terza equazione:
$$
A + A - (-A) = 3A = (-3; -3; 3)
$$
Da cui:
$$
A = \frac{1}{3}(-3; -3; 3) = (-1; -1; 1)
$$

### Passo 4: Determinazione di $$ B $$ e $$ C $$
- $$ B = A = (-1; -1; 1) $$
- $$ C = -A = (1; 1; -1) $$

### Risultato Finale

Le soluzioni per la funzione $$ F $$ sono:
$$
\begin{cases}
F(1; 0; 0) = (-1; -1; 1) \
F(0; 1; 0) = (-1; -1; 1) \
F(0; 0; 1) = (1; 1; -1)
\end{cases}
$$
Le soluzioni sono: $$ F(1; 0; 0) = (-1; -1; 1), \quad F(0; 1; 0) = (-1; -1; 1), \quad F(0; 0; 1) = (1; 1; -1) $$

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