5 Na figura ao lado está representado um relógio e as posições do ponteiro dos minutos às 4 horas e às 4 horas e 10 minutos. 5.1 Qual é, em graus, a amplitude do ângulo descrito pelo pon- teiro quando passam 10 minutos, ou seja, do ângulo $$ B O A $$ ? 5.2 Qual é, em graus, a amplitude dos arcos $$ A B $$ e $$ C D $$ ? 5.3 Sabendo que $$ \overline{O B}=4 \mathrm{~cm} $$ e $$ \overline{O D}=6 \mathrm{~cm} $$, qual é o valor de Comprimento do arco $$ C D $$ Comprimento do arco $$ A B $$

Question

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Vamos resolver cada parte da questão passo a passo.

### 5.1. **Amplitude do Ângulo $$ B O A $$**

O ponteiro dos minutos de um relógio se move a uma taxa de **6 graus por minuto** (já que $$360^\circ / 60 = 6^\circ$$ por minuto).

Quando passam **10 minutos**, o ângulo descrito pelo ponteiro dos minutos é:
$$
10 \text{ minutos} \times 6^\circ/\text{minuto} = 60^\circ
$$

**Resposta:** A amplitude do ângulo $$ B O A $$ é **60 graus**.

### 5.2. **Amplitude dos Arcos $$ A B $$ e $$ C D $$**

- **Arco $$ A B $$:**
  - Corresponde ao movimento do ponteiro dos minutos em 10 minutos, que já calculamos como **60 graus**.

- **Arco $$ C D $$:**
  - O ponteiro das horas se move a uma taxa de **0,5 graus por minuto** (já que $$30^\circ$$ por hora dividido por 60 minutos dá $$0,5^\circ$$ por minuto).
  - Em **10 minutos**, o ponteiro das horas se move:
    $$
    10 \text{ minutos} \times 0,5^\circ/\text{minuto} = 5^\circ
    $$

**Resposta:** 
- A amplitude do arco $$ A B $$ é **60 graus**.
- A amplitude do arco $$ C D $$ é **5 graus**.

### 5.3. **Comprimento dos Arcos $$ C D $$ e $$ A B $$**

A fórmula para o comprimento de um arco é:
$$
\text{Comprimento do Arco} = \theta \times r
$$
onde $$ \theta $$ é o ângulo em radianos e $$ r $$ é o raio.

Primeiro, convertemos os graus para radianos:
$$
\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{graus}} \times \frac{\pi}{180}
$$

- **Comprimento do arco $$ A B $$:**
  $$
  \theta = 60^\circ \quad \Rightarrow \quad \theta_{\text{rad}} = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \text{ radianos}
  $$
  $$
  r = \overline{O B} = 4 \text{ cm}
  $$
  $$
  \text{Comprimento do arco } A B = \frac{\pi}{3} \times 4 = \frac{4\pi}{3} \text{ cm}
  $$

- **Comprimento do arco $$ C D $$:**
  $$
  \theta = 5^\circ \quad \Rightarrow \quad \theta_{\text{rad}} = 5 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{36} \text{ radianos}
  $$
  $$
  r = \overline{O D} = 6 \text{ cm}
  $$
  $$
  \text{Comprimento do arco } C D = \frac{\pi}{36} \times 6 = \frac{\pi}{6} \text{ cm}
  $$

**Respostas:**
- **Comprimento do arco $$ A B $$:** $$\frac{4\pi}{3}$$ cm
- **Comprimento do arco $$ C D $$:** $$\frac{\pi}{6}$$ cm
**Respostas:** 1. **Amplitude do ângulo $$ B O A $$:** 60 graus 2. **Amplitude do arco $$ A B $$:** 60 graus 3. **Amplitude do arco $$ C D $$:** 5 graus 4. **Comprimento do arco $$ A B $$:** $$\frac{4\pi}{3}$$ cm 5. **Comprimento do arco $$ C D $$:** $$\frac{\pi}{6}$$ cm

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