- Derivar a função \( h(x)=(\tan x)(\operatorname{cossec} x) \)

Para derivar a função \( h(x) = \tan(x) \cdot \cossec(x) \), utilizaremos a **regra do produto**. Vamos passo a passo: 1. **Aplicando a Regra do Produto:** A derivada de \( h(x) \) é dada por: \[ h'(x) = \frac{d}{dx}[\tan(x)] \cdot \cossec(x) + \tan(x) \cdot \frac{d}{dx}[\cossec(x)] \] 2. **Calculando as Derivadas Individuais:** - **Derivada de \( \tan(x) \):** \[ \frac{d}{dx}[\tan(x)] = \sec^2(x) \] - **Derivada de \( \cossec(x) \):** Sabemos que \( \cossec(x) = \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} \). A derivada de \( \csc(x) \) é: \[ \frac{d}{dx}[\csc(x)] = -\csc(x) \cot(x) \] 3. **Substituindo as Derivadas na Regra do Produto:** \[ h'(x) = \sec^2(x) \cdot \cossec(x) + \tan(x) \cdot (-\csc(x) \cot(x)) \] \[ h'(x) = \sec^2(x) \cdot \csc(x) - \tan(x) \cdot \csc(x) \cot(x) \] 4. **Fatorando \( \csc(x) \):** \[ h'(x) = \csc(x) \left[ \sec^2(x) - \tan(x) \cot(x) \right] \] Sabemos que \( \tan(x) \cot(x) = 1 \), então: \[ h'(x) = \csc(x) \left[ \sec^2(x) - 1 \right] \] 5. **Simplificando a Expressão:** Utilizando a identidade trigonométrica \( \sec^2(x) - 1 = \tan^2(x) \): \[ h'(x) = \csc(x) \cdot \tan^2(x) \] Como \( \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} \) e \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \), podemos reescrever: \[ h'(x) = \frac{1}{\sin(x)} \cdot \left( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \right)^2 \] \[ h'(x) = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x) \cdot \sin(x)} \] \[ h'(x) = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} \] \[ h'(x) = \tan(x) \cdot \sec(x) \] 6. **Forma Final da Derivada:** \[ h'(x) = \sec(x) \cdot \tan(x) \] **Portanto, a derivada da função \( h(x) = \tan(x) \cdot \cossec(x) \) é:** \[ h'(x) = \sec(x) \cdot \tan(x) \]