10. Reducir la siguiente fracción algebraica. $$ \left[\frac{a^{2}+b^{2}}{2 a b}+1\right]\left[\frac{a-b}{a+b}+\frac{a+b}{a-b}\right]\left[\frac{a b(a-b)}{a^{2}+b^{2}}\right] $$

Question

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Para reducir la fracción algebraica dada:

$$
\left[\frac{a^{2}+b^{2}}{2 a b}+1\right]\left[\frac{a-b}{a+b}+\frac{a+b}{a-b}\right]\left[\frac{a b(a-b)}{a^{2}+b^{2}}\right]
$$

**Paso 1: Simplificar cada paréntesis por separado**

1. **Primer paréntesis:**

$$
\frac{a^{2}+b^{2}}{2ab} + 1 = \frac{a^{2}+b^{2} + 2ab}{2ab} = \frac{(a + b)^2}{2ab}
$$

2. **Segundo paréntesis:**

$$
\frac{a-b}{a+b} + \frac{a+b}{a-b}
$$

Para sumar estas fracciones, buscamos un denominador común:

$$
\frac{(a - b)^2 + (a + b)^2}{(a + b)(a - b)} = \frac{a^2 - 2ab + b^2 + a^2 + 2ab + b^2}{a^2 - b^2} = \frac{2a^2 + 2b^2}{a^2 - b^2} = \frac{2(a^2 + b^2)}{a^2 - b^2}
$$

3. **Tercer paréntesis:**

$$
\frac{ab(a - b)}{a^{2} + b^{2}}
$$

**Paso 2: Sustituir las simplificaciones en la expresión original**

Reemplazando los resultados obtenidos:

$$
\frac{(a + b)^2}{2ab} \times \frac{2(a^2 + b^2)}{a^2 - b^2} \times \frac{ab(a - b)}{a^2 + b^2}
$$

**Paso 3: Simplificar la expresión resultante**

- Cancelamos el factor 2 en el numerador y denominador:

$$
\frac{(a + b)^2}{ab} \times \frac{(a^2 + b^2)}{a^2 - b^2} \times \frac{ab(a - b)}{a^2 + b^2}
$$

- Simplificamos términos comunes:

$$
\frac{(a + b)^2}{\cancel{ab}} \times \frac{\cancel{a^2 + b^2}}{a^2 - b^2} \times \frac{\cancel{ab}(a - b)}{\cancel{a^2 + b^2}} = \frac{(a + b)^2 (a - b)}{a^2 - b^2}
$$

- Reconocemos que $$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$$, por lo que:

$$
\frac{(a + b)^2 (a - b)}{(a + b)(a - b)} = \frac{(a + b) \cancel{(a - b)} \cancel{(a + b)}}{ \cancel{(a + b)} \cancel{(a - b)} } = a + b
$$

**Resultado Final:**

$$
a + b
$$
El resultado simplificado de la fracción algebraica es $$ a + b $$.

Reducir la siguiente fracción algebraica.

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