10. Reducir la siguiente fracción algebraica. \( \left[\frac{a^{2}+b^{2}}{2 a b}+1\right]\left[\frac{a-b}{a+b}+\frac{a+b}{a-b}\right]\left[\frac{a b(a-b)}{a^{2}+b^{2}}\right] \)

Para reducir la fracción algebraica dada: \[ \left[\frac{a^{2}+b^{2}}{2 a b}+1\right]\left[\frac{a-b}{a+b}+\frac{a+b}{a-b}\right]\left[\frac{a b(a-b)}{a^{2}+b^{2}}\right] \] **Paso 1: Simplificar cada paréntesis por separado** 1. **Primer paréntesis:** \[ \frac{a^{2}+b^{2}}{2ab} + 1 = \frac{a^{2}+b^{2} + 2ab}{2ab} = \frac{(a + b)^2}{2ab} \] 2. **Segundo paréntesis:** \[ \frac{a-b}{a+b} + \frac{a+b}{a-b} \] Para sumar estas fracciones, buscamos un denominador común: \[ \frac{(a - b)^2 + (a + b)^2}{(a + b)(a - b)} = \frac{a^2 - 2ab + b^2 + a^2 + 2ab + b^2}{a^2 - b^2} = \frac{2a^2 + 2b^2}{a^2 - b^2} = \frac{2(a^2 + b^2)}{a^2 - b^2} \] 3. **Tercer paréntesis:** \[ \frac{ab(a - b)}{a^{2} + b^{2}} \] **Paso 2: Sustituir las simplificaciones en la expresión original** Reemplazando los resultados obtenidos: \[ \frac{(a + b)^2}{2ab} \times \frac{2(a^2 + b^2)}{a^2 - b^2} \times \frac{ab(a - b)}{a^2 + b^2} \] **Paso 3: Simplificar la expresión resultante** - Cancelamos el factor 2 en el numerador y denominador: \[ \frac{(a + b)^2}{ab} \times \frac{(a^2 + b^2)}{a^2 - b^2} \times \frac{ab(a - b)}{a^2 + b^2} \] - Simplificamos términos comunes: \[ \frac{(a + b)^2}{\cancel{ab}} \times \frac{\cancel{a^2 + b^2}}{a^2 - b^2} \times \frac{\cancel{ab}(a - b)}{\cancel{a^2 + b^2}} = \frac{(a + b)^2 (a - b)}{a^2 - b^2} \] - Reconocemos que \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\), por lo que: \[ \frac{(a + b)^2 (a - b)}{(a + b)(a - b)} = \frac{(a + b) \cancel{(a - b)} \cancel{(a + b)}}{ \cancel{(a + b)} \cancel{(a - b)} } = a + b \] **Resultado Final:** \[ a + b \]