$$ ( \cos ^ { 2 } \frac { \alpha } { 2 } - \sin ^ { 2 } \frac { \alpha } { 2 } - 2 \sin \frac { \alpha } { 2 } \cos \frac { a } { 2 } ) ^ { 2 } + \sin 2 \alpha = 1 $$

Question

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Per risolvere l'equazione

$$
( \cos ^ { 2 } \frac { \alpha } { 2 } - \sin ^ { 2 } \frac { \alpha } { 2 } - 2 \sin \frac { \alpha } { 2 } \cos \frac { \alpha } { 2 } ) ^ { 2 } + \sin 2 \alpha = 1,
$$

iniziamo a semplificare i termini all'interno della parentesi.

1. **Identità Trigonometriche**: Utilizziamo le identità trigonometriche per semplificare l'espressione. Ricordiamo che:

$$
   \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x
   $$

e

$$
   \sin 2x = 2 \sin x \cos x.
   $$

2. **Semplificazione**: Sostituiamo $$ x = \frac{\alpha}{2} $$:

$$
   \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \cos \alpha,
   $$

quindi l'espressione diventa:

$$
   ( \cos \alpha - 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} )^2 + \sin 2\alpha = 1.
   $$

3. **Semplificazione di $$ 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} $$**: Possiamo scrivere:

$$
   2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} = \sin \alpha.
   $$

Così, l'equazione diventa:

$$
   ( \cos \alpha - \sin \alpha )^2 + \sin 2\alpha = 1.
   $$

4. **Sostituzione di $$ \sin 2\alpha $$**: Sappiamo che $$ \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $$, quindi l'equazione diventa:

$$
   ( \cos \alpha - \sin \alpha )^2 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1.
   $$

5. **Espansione**: Espandiamo il quadrato:

$$
   (\cos^2 \alpha - 2 \cos \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha) + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1.
   $$

Semplificando, otteniamo:

$$
   \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha - 2 \cos \alpha \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1.
   $$

Poiché $$ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 $$, l'equazione diventa:

$$
   1 = 1,
   $$

che è sempre vera.

6. **Conclusione**: L'equazione è identicamente vera per ogni valore di $$ \alpha $$. Pertanto, non ci sono restrizioni su $$ \alpha $$ e la soluzione è:

$$
\text{Per ogni } \alpha.
$$
L'equazione è vera per ogni valore di $$ \alpha $$.

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