\( ( \cos ^ { 2 } \frac { \alpha } { 2 } - \sin ^ { 2 } \frac { \alpha } { 2 } - 2 \sin \frac { \alpha } { 2 } \cos \frac { a } { 2 } ) ^ { 2 } + \sin 2 \alpha = 1 \)

Per risolvere l'equazione \[ ( \cos ^ { 2 } \frac { \alpha } { 2 } - \sin ^ { 2 } \frac { \alpha } { 2 } - 2 \sin \frac { \alpha } { 2 } \cos \frac { \alpha } { 2 } ) ^ { 2 } + \sin 2 \alpha = 1, \] iniziamo a semplificare i termini all'interno della parentesi. 1. **Identità Trigonometriche**: Utilizziamo le identità trigonometriche per semplificare l'espressione. Ricordiamo che: \[ \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x \] e \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x. \] 2. **Semplificazione**: Sostituiamo \( x = \frac{\alpha}{2} \): \[ \cos^2 \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \cos \alpha, \] quindi l'espressione diventa: \[ ( \cos \alpha - 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} )^2 + \sin 2\alpha = 1. \] 3. **Semplificazione di \( 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} \)**: Possiamo scrivere: \[ 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} = \sin \alpha. \] Così, l'equazione diventa: \[ ( \cos \alpha - \sin \alpha )^2 + \sin 2\alpha = 1. \] 4. **Sostituzione di \( \sin 2\alpha \)**: Sappiamo che \( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \), quindi l'equazione diventa: \[ ( \cos \alpha - \sin \alpha )^2 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1. \] 5. **Espansione**: Espandiamo il quadrato: \[ (\cos^2 \alpha - 2 \cos \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha) + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1. \] Semplificando, otteniamo: \[ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha - 2 \cos \alpha \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1. \] Poiché \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \), l'equazione diventa: \[ 1 = 1, \] che è sempre vera. 6. **Conclusione**: L'equazione è identicamente vera per ogni valore di \( \alpha \). Pertanto, non ci sono restrizioni su \( \alpha \) e la soluzione è: \[ \text{Per ogni } \alpha. \]