12 Тип 12 i Найдите наименьшее значение функции \( y=37 \operatorname{tg} x-37 x+19 \) на отрезке \( \left[0 ; \frac{\pi}{4}\right. \)

Для нахождения наименьшего значения функции \( y = 37 \tan x - 37x + 19 \) на отрезке \( \left[0 ; \frac{\pi}{4}\right] \) выполните следующие шаги: 1. **Найдем производную функции:** \[ y'(x) = 37 \cdot \sec^2 x - 37 \] 2. **Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:** \[ 37 \cdot \sec^2 x - 37 = 0 \implies \sec^2 x = 1 \implies \cos^2 x = 1 \implies \cos x = \pm 1 \] В интервале \( \left[0 ; \frac{\pi}{4}\right] \) единственное значение, при котором \( \cos x = 1 \), это \( x = 0 \). 3. **Проверим значение функции в критической точке и на краях отрезка:** - **В точке \( x = 0 \):** \[ y(0) = 37 \cdot \tan 0 - 37 \cdot 0 + 19 = 0 + 0 + 19 = 19 \] - **В точке \( x = \frac{\pi}{4} \):** \[ y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 37 \cdot \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - 37 \cdot \frac{\pi}{4} + 19 = 37 \cdot 1 - \frac{37\pi}{4} + 19 \approx 37 - 29.1 + 19 \approx 26.9 \] 4. **Сравним полученные значения:** \[ y(0) = 19 \quad \text{и} \quad y\left(\frac{\pi}{4}\right) \approx 26.9 \] Наименьшее значение функции достигается при \( x = 0 \). **Ответ:** Наименьшее значение функции равно \( 19 \) и достигается при \( x = 0 \).