Question
Задача 4. [1 балл] Уравнение \( 4 x^{2}+5 x-3=0 \) имеет два корня: \( x_{1} \) и \( x_{2} \). Вычислите \( x_{1} x_{2}^{3}+x_{2} x_{1}^{3} \). Алгебра. Часть с развёрнутыми решениями В задачах 5-7 необходимо написать полные решения. Задача 5. [1 балл] Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к одному из катетов равно 5:3, а другой катет равен 36 . Найдите периметр треугольника. Задача 6. [1 балл] Сравните \( \sqrt{4+\sqrt{9+\sqrt{6}}} \) и \( 1+\sqrt{3} \).
Ask by Cummings Burton. in Russia
Jan 22,2025
Real Tutor Solution
Tutor-Verified Answer
Answer
**Задача 4.**
Уравнение \(4x^{2} + 5x - 3 = 0\) имеет корни \(x_{1} = -\frac{3}{4}\) и \(x_{2} = \frac{1}{2}\). Вычисляем:
\[
x_{1}x_{2}^{3} + x_{2}x_{1}^{3} = \left(-\frac{3}{4}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^3 + \left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{4}\right)^3 = -\frac{3}{32} - \frac{27}{128} = -\frac{147}{128}
\]
**Ответ:** \(-\frac{147}{128}\)
---
**Задача 5.**
В прямоугольном треугольнике отношение гипотенузы к одному катету 5:3, а другой катет 36. Гипотенуза равна 60, а второй катет 48. Периметр треугольника 144.
**Ответ:** Периметр равен 144.
---
**Задача 6.**
Сравниваем \( \sqrt{4 + \sqrt{9 + \sqrt{6}}} \) и \( 1 + \sqrt{3} \). Приближенно:
\[
\sqrt{4 + \sqrt{9 + \sqrt{6}}} \approx 2.718
\]
\[
1 + \sqrt{3} \approx 2.732
\]
Таким образом, \( \sqrt{4 + \sqrt{9 + \sqrt{6}}} < 1 + \sqrt{3} \).
**Ответ:** \( \sqrt{4 + \sqrt{9 + \sqrt{6}}} < 1 + \sqrt{3} \).
Solution
**Задача 4. [1 балл]**
Уравнение \(4x^{2} + 5x - 3 = 0\) имеет сумму корней \(x_{1} + x_{2} = -\frac{5}{4}\) и произведение корней \(x_{1}x_{2} = -\frac{3}{4}\).
Необходимо вычислить:
\[
x_{1}x_{2}^{3} + x_{2}x_{1}^{3} = x_{1}x_{2}(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})
\]
Сначала найдем \(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}\):
\[
x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2} = \left(-\frac{5}{4}\right)^{2} - 2\left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{25}{16} + \frac{6}{4} = \frac{49}{16}
\]
Теперь подставляем:
\[
x_{1}x_{2}^{3} + x_{2}x_{1}^{3} = \left(-\frac{3}{4}\right) \times \frac{49}{16} = -\frac{147}{64}
\]
**Ответ:** \(-\frac{147}{64}\)
---
**Задача 5. [1 балл]**
Дано отношение гипотенузы к одному из катетов \(5:3\) и другой катет равен 36.
Обозначим:
- Катет, соответствующий 3, равен \(a = 36\).
- Гипотенуза \(c = \frac{5}{3}a = \frac{5}{3} \times 36 = 60\).
- Другой катет \(b\) находим по теореме Пифагора:
\[
a^{2} + b^{2} = c^{2} \Rightarrow 36^{2} + b^{2} = 60^{2} \Rightarrow 1296 + b^{2} = 3600 \Rightarrow b^{2} = 2304 \Rightarrow b = 48
\]
Периметр треугольника:
\[
P = a + b + c = 36 + 48 + 60 = 144
\]
**Ответ:** Периметр равен 144.
---
**Задача 6. [1 балл]**
Сравним \( \sqrt{4 + \sqrt{9 + \sqrt{6}}} \) и \( 1 + \sqrt{3} \).
Вычислим приблизительно:
\[
\sqrt{6} \approx 2.449
\]
\[
\sqrt{9 + \sqrt{6}} \approx \sqrt{9 + 2.449} \approx \sqrt{11.449} \approx 3.381
\]
\[
\sqrt{4 + \sqrt{9 + \sqrt{6}}} \approx \sqrt{4 + 3.381} \approx \sqrt{7.381} \approx 2.718
\]
\[
1 + \sqrt{3} \approx 1 + 1.732 \approx 2.732
\]
Сравнивая:
\[
2.718 < 2.732
\]
**Ответ:** \( \sqrt{4 + \sqrt{9 + \sqrt{6}}} < 1 + \sqrt{3} \).
Reviewed and approved by the UpStudy tutoring team
Like
error msg
Explain 
Simplify this solution Bonus Knowledge
Для решения уравнения \( 4x^2 + 5x - 3 = 0 \) используем формулу корней квадратного уравнения: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), где \( a = 4 \), \( b = 5 \), \( c = -3 \). Подставляя значения, находим корни \( x_1 \) и \( x_2 \), и далее вычисляем \( x_1 x_2^3 + x_2 x_1^3 \) с помощью свойства корней уравнения и формул для сумм и произведений. Чтобы найти периметр прямоугольного треугольника, где отношение гипотенузы к одному из катетов 5:3, начнём с того, что обозначим гипотенузу как \( c \), а известный катет как \( b = 36 \). Используя теорему Пифагора: \( c^2 = a^2 + b^2 \), можем выразить отсутствующий катет \( a \). После этого просто суммируем все стороны треугольника для получения периметра.
