Задача 4. [1 балл] Уравнение $$ 4 x^{2}+5 x-3=0 $$ имеет два корня: $$ x_{1} $$ и $$ x_{2} $$. Вычислите $$ x_{1} x_{2}^{3}+x_{2} x_{1}^{3} $$. Алгебра. Часть с развёрнутыми решениями В задачах 5-7 необходимо написать полные решения. Задача 5. [1 балл] Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к одному из катетов равно 5:3, а другой катет равен 36 . Найдите периметр треугольника. Задача 6. [1 балл] Сравните $$ \sqrt{4+\sqrt{9+\sqrt{6}}} $$ и $$ 1+\sqrt{3} $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

**Задача 4. [1 балл]**

Уравнение $$4x^{2} + 5x - 3 = 0$$ имеет сумму корней $$x_{1} + x_{2} = -\frac{5}{4}$$ и произведение корней $$x_{1}x_{2} = -\frac{3}{4}$$.

Необходимо вычислить:
$$
x_{1}x_{2}^{3} + x_{2}x_{1}^{3} = x_{1}x_{2}(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})
$$
Сначала найдем $$x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$$:
$$
x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2} = \left(-\frac{5}{4}\right)^{2} - 2\left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{25}{16} + \frac{6}{4} = \frac{49}{16}
$$
Теперь подставляем:
$$
x_{1}x_{2}^{3} + x_{2}x_{1}^{3} = \left(-\frac{3}{4}\right) \times \frac{49}{16} = -\frac{147}{64}
$$
**Ответ:** $$-\frac{147}{64}$$

---

**Задача 5. [1 балл]**

Дано отношение гипотенузы к одному из катетов $$5:3$$ и другой катет равен 36.

Обозначим:
- Катет, соответствующий 3, равен $$a = 36$$.
- Гипотенуза $$c = \frac{5}{3}a = \frac{5}{3} \times 36 = 60$$.
- Другой катет $$b$$ находим по теореме Пифагора:
$$
a^{2} + b^{2} = c^{2} \Rightarrow 36^{2} + b^{2} = 60^{2} \Rightarrow 1296 + b^{2} = 3600 \Rightarrow b^{2} = 2304 \Rightarrow b = 48
$$
Периметр треугольника:
$$
P = a + b + c = 36 + 48 + 60 = 144
$$
**Ответ:** Периметр равен 144.

---

**Задача 6. [1 балл]**

Сравним $$ \sqrt{4 + \sqrt{9 + \sqrt{6}}} $$ и $$ 1 + \sqrt{3} $$.

Вычислим приблизительно:
$$
\sqrt{6} \approx 2.449
$$
$$
\sqrt{9 + \sqrt{6}} \approx \sqrt{9 + 2.449} \approx \sqrt{11.449} \approx 3.381
$$
$$
\sqrt{4 + \sqrt{9 + \sqrt{6}}} \approx \sqrt{4 + 3.381} \approx \sqrt{7.381} \approx 2.718
$$
$$
1 + \sqrt{3} \approx 1 + 1.732 \approx 2.732
$$
Сравнивая:
$$
2.718 < 2.732
$$
**Ответ:** $$ \sqrt{4 + \sqrt{9 + \sqrt{6}}} < 1 + \sqrt{3} $$.
**Задача 4.** Уравнение $$4x^{2} + 5x - 3 = 0$$ имеет корни $$x_{1} = -\frac{3}{4}$$ и $$x_{2} = \frac{1}{2}$$. Вычисляем: $$ x_{1}x_{2}^{3} + x_{2}x_{1}^{3} = \left(-\frac{3}{4}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^3 + \left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{4}\right)^3 = -\frac{3}{32} - \frac{27}{128} = -\frac{147}{128} $$ **Ответ:** $$-\frac{147}{128}$$ --- **Задача 5.** В прямоугольном треугольнике отношение гипотенузы к одному катету 5:3, а другой катет 36. Гипотенуза равна 60, а второй катет 48. Периметр треугольника 144. **Ответ:** Периметр равен 144. --- **Задача 6.** Сравниваем $$ \sqrt{4 + \sqrt{9 + \sqrt{6}}} $$ и $$ 1 + \sqrt{3} $$. Приближенно: $$ \sqrt{4 + \sqrt{9 + \sqrt{6}}} \approx 2.718 $$ $$ 1 + \sqrt{3} \approx 2.732 $$ Таким образом, $$ \sqrt{4 + \sqrt{9 + \sqrt{6}}} < 1 + \sqrt{3} $$. **Ответ:** $$ \sqrt{4 + \sqrt{9 + \sqrt{6}}} < 1 + \sqrt{3} $$.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Algebra Questions