1. Resoudre dans $$ \mathbb{R} $$ $$ x^{2}-6 x+90 $$ et $$ x^{4}-6 x^{2}+90 $$
Soit la fonction definie par $$ f(x)=\frac{f^{2}+5 r^{2}+9 x+5}{2 x^{2}+2} $$

Question

1. Resoudre dans $$ \mathbb{R} $$ $$ x^{2}-6 x+9>0 $$ et $$ x^{4}-6 x^{2}+9>0 $$
Soit la fonction definie par $$ f(x)=\frac{f^{2}+5 r^{2}+9 x+5}{2 x^{2}+2} $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Résolvons les deux inéquations dans $$ \mathbb{R} $$ puis analysons la fonction $$ f(x) $$ donnée.

### 1. Résolution des inéquations

#### a) $$ x^{2} - 6x + 9 > 0 $$

Écrivons le polynôme sous forme factorisée :
$$ x^{2} - 6x + 9 = (x - 3)^{2} $$

Puisque le carré d'un réel est toujours positif ou nul :
$$ (x - 3)^{2} \geq 0 $$

L'inégalité stricte $$ (x - 3)^{2} > 0 $$ est vérifiée pour **tout $$ x $$ réel sauf $$ x = 3 $$**.

**Solution :**
$$ x \in \mathbb{R} \setminus \{3\} $$

#### b) $$ x^{4} - 6x^{2} + 9 > 0 $$

Posons $$ y = x^{2} $$, alors l'inéquation devient :
$$ y^{2} - 6y + 9 > 0 $$
$$ (y - 3)^{2} > 0 $$

De même, $$ (y - 3)^{2} \geq 0 $$ pour tout $$ y $$, et l'inégalité stricte est vérifiée sauf pour $$ y = 3 $$, c’est-à-dire :
$$ y \neq 3 $$
$$ x^{2} \neq 3 $$
$$ x \neq \pm \sqrt{3} $$

**Solution :**
$$ x \in \mathbb{R} \setminus \{\sqrt{3},\ -\sqrt{3}\} $$

### 2. Analyse de la fonction $$ f(x) $$

La fonction est définie par :
$$ f(x) = \frac{f^{2} + 5r^{2} + 9x + 5}{2x^{2} + 2} $$

**Remarque :**
Il semble y avoir une confusion ou une erreur typographique dans l'expression de la fonction, car $$ f(x) $$ est exprimée en fonction de $$ f^{2} $$, ce qui suggère une équation récursive. Pour donner une analyse pertinente, supposons que l'expression correcte soit :

$$ f(x) = \frac{x^{2} + 5r^{2} + 9x + 5}{2x^{2} + 2} $$

#### Simplification de $$ f(x) $$ :

Factorisons le dénominateur :
$$ 2x^{2} + 2 = 2(x^{2} + 1) $$

Donc :
$$ f(x) = \frac{x^{2} + 5r^{2} + 9x + 5}{2(x^{2} + 1)} $$

Cette fonction est définie pour tout $$ x \in \mathbb{R} $$, puisque le dénominateur $$ 2(x^{2} + 1) $$ est toujours positif.

**Interprétation :**
- **Domaine de définition :** $$ \mathbb{R} $$
- **Comportement asymptotique :** Pour $$ |x| $$ très grand, $$ f(x) $$ se comporte comme $$ \frac{x^{2}}{2x^{2}} = \frac{1}{2} $$, donc $$ f(x) $$ tend vers $$ \frac{1}{2} $$ lorsque $$ x $$ tend vers $$ \pm \infty $$.
- **Intercepts :**
  - **Ordonnée à l'origine ( $$ x = 0 $$ ) :**
    $$ f(0) = \frac{0 + 5r^{2} + 0 + 5}{2(0 + 1)} = \frac{5r^{2} + 5}{2} $$
  - **Aucune abscisse simple car l'équation $$ f(x) = 0 $$ nécessite que le numérateur soit nul, ce qui dépend des valeurs de $$ r $$.

Si une correction ou une précision supplémentaire concernant la définition de la fonction est nécessaire, n’hésitez pas à fournir des détails supplémentaires.
**Résolution des Inéquations et Analyse de la Fonction** 1. **Résolution des Inéquations :** - **Inéquation 1 :** $$ x^{2} - 6x + 9 > 0 $$ - Solution : $$ x \in \mathbb{R} \setminus \{3\} $$ (tous les réels sauf $$ x = 3 $$) - **Inéquation 2 :** $$ x^{4} - 6x^{2} + 9 > 0 $$ - Solution : $$ x \in \mathbb{R} \setminus \{\sqrt{3},\ -\sqrt{3}\} $$ (tous les réels sauf $$ x = \sqrt{3} $$ et $$ x = -\sqrt{3} $$) 2. **Analyse de la Fonction $$ f(x) $$ :** - **Fonction :** $$ f(x) = \frac{x^{2} + 5r^{2} + 9x + 5}{2x^{2} + 2} $$ - **Domaine de Définition :** $$ \mathbb{R} $$ (tous les réels) - **Comportement Asymptotique :** $$ f(x) $$ tend vers $$ \frac{1}{2} $$ quand $$ x $$ tend vers $$ \pm \infty $$ - **Intercepts :** - Ordonnée à l'origine : $$ f(0) = \frac{5r^{2} + 5}{2} $$ - Aucune abscisse simple car l'équation $$ f(x) = 0 $$ dépend des valeurs de $$ r $$ **Remarque :** Il y a une possible confusion dans l'expression de la fonction $$ f(x) $$. Pour une analyse précise, une clarification sur la définition exacte de $$ f(x) $$ serait nécessaire.

Resoudre dans et \nSoit la fonction definie par

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Algebra Questions