1. Resoudre dans \( \mathbb{R} \) \( x^{2}-6 x+9>0 \) et \( x^{4}-6 x^{2}+9>0 \)\nSoit la fonction definie par \( f(x)=\frac{f^{2}+5 r^{2}+9 x+5}{2 x^{2}+2} \)

Résolvons les deux inéquations dans \( \mathbb{R} \) puis analysons la fonction \( f(x) \) donnée. ### 1. Résolution des inéquations #### a) \( x^{2} - 6x + 9 > 0 \) Écrivons le polynôme sous forme factorisée : \[ x^{2} - 6x + 9 = (x - 3)^{2} \] Puisque le carré d'un réel est toujours positif ou nul : \[ (x - 3)^{2} \geq 0 \] L'inégalité stricte \( (x - 3)^{2} > 0 \) est vérifiée pour **tout \( x \) réel sauf \( x = 3 \)**. **Solution :** \[ x \in \mathbb{R} \setminus \{3\} \] #### b) \( x^{4} - 6x^{2} + 9 > 0 \) Posons \( y = x^{2} \), alors l'inéquation devient : \[ y^{2} - 6y + 9 > 0 \] \[ (y - 3)^{2} > 0 \] De même, \( (y - 3)^{2} \geq 0 \) pour tout \( y \), et l'inégalité stricte est vérifiée sauf pour \( y = 3 \), c’est-à-dire : \[ y \neq 3 \] \[ x^{2} \neq 3 \] \[ x \neq \pm \sqrt{3} \] **Solution :** \[ x \in \mathbb{R} \setminus \{\sqrt{3},\ -\sqrt{3}\} \] ### 2. Analyse de la fonction \( f(x) \) La fonction est définie par : \[ f(x) = \frac{f^{2} + 5r^{2} + 9x + 5}{2x^{2} + 2} \] **Remarque :** Il semble y avoir une confusion ou une erreur typographique dans l'expression de la fonction, car \( f(x) \) est exprimée en fonction de \( f^{2} \), ce qui suggère une équation récursive. Pour donner une analyse pertinente, supposons que l'expression correcte soit : \[ f(x) = \frac{x^{2} + 5r^{2} + 9x + 5}{2x^{2} + 2} \] #### Simplification de \( f(x) \) : Factorisons le dénominateur : \[ 2x^{2} + 2 = 2(x^{2} + 1) \] Donc : \[ f(x) = \frac{x^{2} + 5r^{2} + 9x + 5}{2(x^{2} + 1)} \] Cette fonction est définie pour tout \( x \in \mathbb{R} \), puisque le dénominateur \( 2(x^{2} + 1) \) est toujours positif. **Interprétation :** - **Domaine de définition :** \( \mathbb{R} \) - **Comportement asymptotique :** Pour \( |x| \) très grand, \( f(x) \) se comporte comme \( \frac{x^{2}}{2x^{2}} = \frac{1}{2} \), donc \( f(x) \) tend vers \( \frac{1}{2} \) lorsque \( x \) tend vers \( \pm \infty \). - **Intercepts :** - **Ordonnée à l'origine ( \( x = 0 \) ) :** \[ f(0) = \frac{0 + 5r^{2} + 0 + 5}{2(0 + 1)} = \frac{5r^{2} + 5}{2} \] - **Aucune abscisse simple car l'équation \( f(x) = 0 \) nécessite que le numérateur soit nul, ce qui dépend des valeurs de \( r \). Si une correction ou une précision supplémentaire concernant la définition de la fonction est nécessaire, n’hésitez pas à fournir des détails supplémentaires.