Esercizio 1. Sia $$ k \in \mathbb{R} $$. Al variare di $$ k $$, sono dati i seguenti sottospazi di $$ \mathbb{R}^{4} $$ : $$ \quad U=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} \mid x_{1}+x_{2}=x_{3}+x_{4}=0\right\} \quad W=\mathcal{L}((1, k, 1, k),(0, k, 0, k)) $$ (b) Per quali $$ k \in \mathbb{R} $$ è possibile costruire un sottospazio $$ T \subseteq \mathbb{R}^{4} $$ tale che $$ T \cap W=\varnothing $$ e $$ T \oplus U=\mathbb{R}^{4} $$ ? (c) Calcola una base ortonormale di $$ U^{\perp} $$.

Question

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Per calcolare una base ortonormale di $$ U^{\perp} $$, seguiamo i seguenti passaggi:

### 1. Determinare $$ U^{\perp} $$

Dato lo spazio $$ U \subseteq \mathbb{R}^4 $$ definito da:
$$
U = \left\{ (x_1, x_2, x_3, x_4) \in \mathbb{R}^4 \mid x_1 + x_2 = 0 \quad \text{e} \quad x_3 + x_4 = 0 \right\}
$$
Le equazioni che definiscono $$ U $$ possono essere rappresentate nella forma matriciale $$ A\mathbf{x} = 0 $$, dove:
$$
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
$$
Lo spazio ortogonale $$ U^{\perp} $$ è l'immagine trasposta di $$ A $$, ossia:
$$
U^{\perp} = \text{Im}(A^T) = \text{span}\left\{ \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} \right\}
$$

### 2. Verificare l'Ortonormalità

Verifichiamo se i vettori che generano $$ U^{\perp} $$ sono ortogonali:
$$
\begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} = 0 + 0 + 0 + 0 = 0
$$
Quindi, i vettori sono ortogonali.

### 3. Normalizzare i Vettori

Calcoliamo la norma di ciascun vettore:
$$
\left\| \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix} \right\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{2}
$$
$$
\left\| \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} \right\| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
$$

Dividiamo ciascun vettore per la sua norma per ottenere una base ortonormale:
$$
\text{Base Ortonormale di } U^{\perp} = \left\{ \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}, \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} \right\}
$$

### Risultato Finale

Una base ortonormale di $$ U^{\perp} $$ è data dai due vettori:
$$
\left\{\, \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\, \dfrac{1}{\sqrt{2}},\, 0,\, 0\right), \left(0,\, 0,\, \dfrac{1}{\sqrt{2}},\, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) \,\right\}
$$
Una base ortonormale di $$ U^{\perp} $$ è: $$ \left\{ \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}, \dfrac{1}{\sqrt{2}}, 0, 0\right), \left(0, 0, \dfrac{1}{\sqrt{2}}, \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) \right\} $$

Esercizio 1. Sia . Al variare di , sono dati i seguenti sottospazi di :

(b) Per quali è possibile costruire un sottospazio tale che e ?
© Calcola una base ortonormale di .

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