Esercizio 1. Sia \( k \in \mathbb{R} \). Al variare di \( k \), sono dati i seguenti sottospazi di \( \mathbb{R}^{4} \) : \( \quad U=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} \mid x_{1}+x_{2}=x_{3}+x_{4}=0\right\} \quad W=\mathcal{L}((1, k, 1, k),(0, k, 0, k)) \) (b) Per quali \( k \in \mathbb{R} \) è possibile costruire un sottospazio \( T \subseteq \mathbb{R}^{4} \) tale che \( T \cap W=\varnothing \) e \( T \oplus U=\mathbb{R}^{4} \) ? (c) Calcola una base ortonormale di \( U^{\perp} \).

Se esaminiamo il sottospazio \( U \), notiamo che è definito dalle equazioni \( x_1 + x_2 = 0 \) e \( x_3 + x_4 = 0 \), il che implica che l'assegnamento di \( x_1 \) e \( x_3 \) può essere liberamente scelto. In questo caso, una base per \( U \) può essere data da \( \{(1,-1,0,0), (0,0,1,-1)\} \). Quindi \( \dim(U) = 2 \), suggerendo che esiste una dimensione di 2 nello spazio complessivo di \( \mathbb{R}^4 \). In merito a \( T \) (punto b), possiamo richiedere che \( \dim(T) = 2 \) affinché \( \dim(U) + \dim(T) = 4 \). Dato che \( W \) è definito in termini di \( k \), dobbiamo assicurarci che le due condizioni si incontrino temporaneamente per non sovrapporsi con \( W \). Questo si verifica per \( k \neq 0 \). Riguardo alla parte c, per calcolare una base ortonormale di \( U^\perp \), dobbiamo trovare vettori che sono ortogonali a quelli di \( U \). I vettori di \( U^\perp \) devono soddisfare le condizioni: \( x_1 + x_2 = 0 \) e \( x_3 + x_4 = 0 \). Possiamo considerare i vettori \( (1, 1, 0, 0) \) e \( (0, 0, 1, 1) \) e utilizzare il metodo di Gram-Schmidt per ottenerne una base ortonormale. In questo caso, dopo la normalizzazione, otteniamo i vettori: \( \frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1, 0, 0) \) e \( \frac{1}{\sqrt{2}}(0, 0, 1, 1) \).