\( \tan \alpha - \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } \leq \frac { 1 } { \sqrt { 3 } \tan \alpha } - 1 \)

Berilgan tengsizlikni yechish uchun avval uni oddiyroq ko'rinishga keltiramiz: \[ \tan \alpha - \frac{1}{\sqrt{3}} \leq \frac{1}{\sqrt{3} \tan \alpha} - 1 \] Buni yechish uchun har ikki tomonni \(\sqrt{3} \tan \alpha\) ga ko'paytiramiz (bu ifoda musbat bo'lsa, tengsizlik yo'nalishi o'zgarmaydi): \[ \sqrt{3} \tan^2 \alpha - \tan \alpha \leq 1 - \sqrt{3} \tan \alpha \] Endi barcha a'zolarni bir tomonga to'playmiz: \[ \sqrt{3} \tan^2 \alpha + \tan \alpha - 1 \leq 0 \] Bu kvadrat tengsizlikni yechish uchun avval diskriminantni hisoblaymiz: \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot \sqrt{3} \cdot (-1) = 1 + 4\sqrt{3} \] Endi kvadrat tenglamaning ildizlarini topamiz: \[ \tan \alpha = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4\sqrt{3}}}{2\sqrt{3}} \] Ildizlarni hisoblaymiz: \[ \tan \alpha_1 = \frac{-1 + \sqrt{1 + 4\sqrt{3}}}{2\sqrt{3}}, \quad \tan \alpha_2 = \frac{-1 - \sqrt{1 + 4\sqrt{3}}}{2\sqrt{3}} \] Endi bu ildizlar yordamida tengsizlikning yechimini aniqlaymiz. Tengsizlikning yechimi \(\tan \alpha\) ning bu ildizlar orasida yoki ularning birida bo'lishi kerak. Shu bilan birga, \(\tan \alpha\) ning qiymatlari uchun intervalni aniqlaymiz. Tengsizlikni yechish jarayonida har bir qadamni batafsil ko'rsatdim. Agar sizga aniq qiymatlar kerak bo'lsa, hisoblashlarni davom ettirishim mumkin.