$$ \begin{array}{ll} ext { - } \log _{3}(x+9) & ext { Grafiquen las siguientes funciones. } \ ext { - } \log _{3} x+9 & \begin{array}{l} ext { Analicen dominio, imagen, ceros } \ ext { (intersecciones con los ejes), positividad, } \ ext { - } \log _{3}(-x) \ ext { negatividad y asintotas } \ ext { - } \log _{\frac{1}{3}}(x) \ ext { - } \log _{\frac{1}{3}}(-x) \ ext { - } \log _{1}(-x+1)\end{array}\end{array} $$

Question

$$ \begin{array}{ll}	ext { - } \log _{3}(x+9) & 	ext { Grafiquen las siguientes funciones. } \ 	ext { - } \log _{3} x+9 & \begin{array}{l}	ext { Analicen dominio, imagen, ceros } \ 	ext { (intersecciones con los ejes), positividad, } \ 	ext { - } \log _{3}(-x) \ 	ext { negatividad y asintotas } \ 	ext { - } \log _{\frac{1}{3}}(x) \ 	ext { - } \log _{\frac{1}{3}}(-x) \ 	ext { - } \log _{1}(-x+1)\end{array}\end{array} $$

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Claro, a continuación se presentan las gráficas y el análisis de las funciones logarítmicas mencionadas: ## 1. $$ \log_{3}(x + 9) $$ ### **Gráfica:** La gráfica de $$ \log_{3}(x + 9) $$ es una curva logarítmica que se desplaza 9 unidades hacia la izquierda respecto a la gráfica estándar de $$ \log_{3}(x) $$. ### **Análisis:** - **Dominio:** $$ x + 9 > 0 \implies x > -9 $$ $$ \text{Dominio}: (-9, +\infty) $$ - **Imagen (Rango):** $$ \text{Imagen}: \mathbb{R} \quad (\text{todos los números reales}) $$ - **Intersecciones con los ejes:** - **Intersección con el eje y:** Para $$ x = 0 $$: $$ \log_{3}(0 + 9) = \log_{3}(9) = 2 $$ $$ \text{Punto: } (0, 2) $$ - **Intersección con el eje x (cero de la función):** $$ \log_{3}(x + 9) = 0 \implies x + 9 = 1 \implies x = -8 $$ $$ \text{Punto: } (-8, 0) $$ - **Positividad y Negatividad:** - La función es **positiva** cuando $$ \log_{3}(x + 9) > 0 \implies x + 9 > 1 \implies x > -8 $$. - La función es **negativa** cuando $$ 0 < x + 9 < 1 \implies -9 < x < -8 $$. - **Asíntotas:** - **Asíntota vertical** en $$ x = -9 $$. ### **Conclusión:** La función $$ \log_{3}(x + 9) $$ está definida para $$ x > -9 $$, tiene una intersección con el eje y en (0, 2) y con el eje x en (-8, 0). Es positiva para $$ x > -8 $$ y negativa para $$ -9 < x < -8 $$. La asíntota vertical en $$ x = -9 $$ indica que la función se aproxima a este valor pero nunca lo alcanza. --- ## 2. $$ \log_{3}x + 9 $$ ### **Gráfica:** Esta función es una transformación vertical de $$ \log_{3}x $$, desplazada 9 unidades hacia arriba. ### **Análisis:** - **Dominio:** $$ x > 0 $$ - **Imagen (Rango):** $$ \text{Imagen}: \mathbb{R} \quad (\text{todos los números reales}) $$ - **Intersecciones con los ejes:** - **Intersección con el eje y:** Para $$ x = 1 $$: $$ \log_{3}(1) + 9 = 0 + 9 = 9 $$ $$ \text{Punto: } (1, 9) $$ - **Intersección con el eje x (cero de la función):** $$ \log_{3}x + 9 = 0 \implies \log_{3}x = -9 \implies x = 3^{-9} = \frac{1}{19683} $$ $$ \text{Punto: } \left(\frac{1}{19683}, 0\right) $$ - **Positividad y Negatividad:** - **Positiva:** $$ \log_{3}x + 9 > 0 \implies \log_{3}x > -9 \implies x > 3^{-9} $$ - **Negativa:** $$ \log_{3}x + 9 < 0 \implies \log_{3}x < -9 \implies 0 < x < 3^{-9} $$ - **Asíntotas:** - **Asíntota vertical** en $$ x = 0 $$. ### **Conclusión:** La función $$ \log_{3}x + 9 $$ está definida para $$ x > 0 $$, con una intersección en el eje y en (1, 9) y en el eje x en $$ \left(\frac{1}{19683}, 0\right) $$. Es positiva para $$ x > \frac{1}{19683} $$ y negativa para $$ 0 < x < \frac{1}{19683} $$. Tiene una asíntota vertical en $$ x = 0 $$. --- ## 3. $$ \log_{3}(-x) $$ ### **Gráfica:** Esta función refleja la gráfica de $$ \log_{3}x $$ respecto al eje y. ### **Análisis:** - **Dominio:** $$ -x > 0 \implies x < 0 $$ $$ \text{Dominio}: (-\infty, 0) $$ - **Imagen (Rango):** $$ \text{Imagen}: \mathbb{R} $$ - **Intersecciones con los ejes:** - **Intersección con el eje y:** No existe, ya que $$ x $$ no puede ser cero. - **Intersección con el eje x:** $$ \log_{3}(-x) = 0 \implies -x = 1 \implies x = -1 $$ $$ \text{Punto: } (-1, 0) $$ - **Positividad y Negatividad:** - **Positiva:** $$ \log_{3}(-x) > 0 \implies -x > 1 \implies x < -1 $$ - **Negativa:** $$ 0 < -x < 1 \implies -1 < x < 0 $$ - **Asíntotas:** - **Asíntota vertical** en $$ x = 0 $$. ### **Conclusión:** La función $$ \log_{3}(-x) $$ está definida para $$ x < 0 $$, con una intersección con el eje x en (-1, 0). Es positiva para $$ x < -1 $$ y negativa para $$ -1 < x < 0 $$. Tiene una asíntota vertical en $$ x = 0 $$. --- ## 4. $$ \log_{\frac{1}{3}}(x) $$ ### **Gráfica:** Dado que la base $$ \frac{1}{3} $$ es menor que 1, la gráfica de $$ \log_{\frac{1}{3}}(x) $$ es una reflexión respecto al eje y de la gráfica de $$ \log_{3}x $$. ### **Análisis:** - **Dominio:** $$ x > 0 $$ - **Imagen (Rango):** $$ \text{Imagen}: \mathbb{R} $$ - **Intersecciones con los ejes:** - **Intersección con el eje y:** Para $$ x = 1 $$: $$ \log_{\frac{1}{3}}(1) = 0 $$ $$ \text{Punto: } (1, 0) $$ - **Intersección con el eje x:** Similar a la función $$\log_{3}x$$, la única intersección es en $$ x = 1 $$. - **Positividad y Negatividad:** - **Positiva:** $$ \log_{\frac{1}{3}}(x) > 0 \implies x < 1 $$ - **Negativa:** $$ \log_{\frac{1}{3}}(x) < 0 \implies x > 1 $$ - **Asíntotas:** - **Asíntota vertical** en $$ x = 0 $$. ### **Conclusión:** La función $$ \log_{\frac{1}{3}}(x) $$ está definida para $$ x > 0 $$, con una intersección en el eje x en (1, 0). Es positiva para $$ 0 < x < 1 $$ y negativa para $$ x > 1 $$. Tiene una asíntota vertical en $$ x = 0 $$. --- ## 5. $$ \log_{\frac{1}{3}}(-x) $$ ### **Gráfica:** Esta función es una combinación de reflexión respecto al eje y y cambio de base, lo que invierte la dirección de la gráfica. ### **Análisis:** - **Dominio:** $$ -x > 0 \implies x < 0 $$ $$ \text{Dominio}: (-\infty, 0) $$ - **Imagen (Rango):** $$ \text{Imagen}: \mathbb{R} $$ - **Intersecciones con los ejes:** - **Intersección con el eje y:** No existe, ya que $$ x $$ no puede ser cero. - **Intersección con el eje x:** $$ \log_{\frac{1}{3}}(-x) = 0 \implies -x = 1 \implies x = -1 $$ $$ \text{Punto: } (-1, 0) $$ - **Positividad y Negatividad:** - **Positiva:** $$ \log_{\frac{1}{3}}(-x) > 0 \implies -x < 1 \implies x > -1 $$ - **Negativa:** $$ \log_{\frac{1}{3}}(-x) < 0 \implies -x > 1 \implies x < -1 $$ - **Asíntotas:** - **Asíntota vertical** en $$ x = 0 $$. ### **Conclusión:** La función $$ \log_{\frac{1}{3}}(-x) $$ está definida para $$ x < 0 $$, con una intersección con el eje x en (-1, 0). Es positiva para $$ -1 < x < 0 $$ y negativa para $$ x < -1 $$. Tiene una asíntota vertical en $$ x = 0 $$. --- ## 6. $$ \log_{1}(-x + 1) $$ ### **Análisis:** - **Dominio:** $$ -x + 1 > 0 \implies x < 1 $$ $$ \text{Dominio}: (-\infty, 1) $$ - **Base del logaritmo:** La base del logaritmo es 1. Sin embargo, **la función logarítmica no está definida cuando la base es 1**, ya que no existe un exponente que satisfaga $$ 1^y = x $$ para $$ x \neq 1 $$. ### **Conclusión:** La función $$ \log_{1}(-x + 1) $$ **no está definida** porque la base del logaritmo es 1, lo cual hace que la función no tenga sentido matemático. Por lo tanto, no se puede graficar ni analizar sus propiedades. Las funciones logarítmicas analizadas son: 1. $$ \log_{3}(x + 9) $$: Definida para $$ x > -9 $$, con intersecciones en (0,2) y (-8,0). Es positiva para $$ x > -8 $$ y negativa para $$ -9 < x < -8 $$, con una asíntota vertical en $$ x = -9 $$. 2. $$ \log_{3}x + 9 $$: Definida para $$ x > 0 $$, con intersección en (1,9) y (-1,0). Es positiva para $$ x > \frac{1}{19683} $$ y negativa para $$ 0 < x < \frac{1}{19683} $$, con una asíntota vertical en $$ x = 0 $$. 3. $$ \log_{3}(-x) $$: Definida para $$ x < 0 $$, con intersección en (-1,0). Es positiva para $$ x < -1 $$ y negativa para $$ -1 < x < 0 $$, con una asíntota vertical en $$ x = 0 $$. 4. $$ \log_{\frac{1}{3}}(x) $$: Definida para $$ x > 0 $$, con intersección en (1,0). Es positiva para $$ 0 < x < 1 $$ y negativa para $$ x > 1 $$, con una asíntota vertical en $$ x = 0 $$. 5. $$ \log_{\frac{1}{3}}(-x) $$: Definida para $$ x < 0 $$, con intersección en (-1,0). Es positiva para $$ -1 < x < 0 $$ y negativa para $$ x < -1 $$, con una asíntota vertical en $$ x = 0 $$. 6. $$ \log_{1}(-x + 1) $$: No está definida porque la base del logaritmo es 1, lo que hace que la función no tenga sentido matemático. En resumen, las gráficas y propiedades de estas funciones logarítmicas se han analizado detalladamente, considerando su dominio, imagen, intersecciones, positividad, negatividad y asíntotas.

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