OLIMPLADA LA MATEMATICA
etapa raională/municipală, 4 februarie 2023, Clasa a
10.1. Arătaţi că nu existã douã numere naturale nenule și care sã verifice egalitatea
.

Ask by Salinas Parry. in Moldova

Jan 20,2025

Question

OLIMPLADA LA MATEMATICA
etapa raională/municipală, 4 februarie 2023, Clasa a
10.1. Arătaţi că nu existã douã numere naturale nenule și care sã verifice egalitatea
.

Ask by Salinas Parry. in Moldova

Jan 20,2025

UpStudy AI · Accepted Answer

Pentru a demonstra că nu există două numere naturale nenule $$ m $$ și $$ n $$ care să satisfacă egalitatea $$ \sqrt{m} + \sqrt{n} = \sqrt{253} $$, vom proceda astfel:

**Pasul 1: Presupunem existența numerelor $$ m $$ și $$ n $$**

Presupunem că există două numere naturale nenule $$ m $$ și $$ n $$ astfel încât:
$$
\sqrt{m} + \sqrt{n} = \sqrt{253}
$$

**Pasul 2: Ridicăm la pătrat ambele părți ale ecuației**

$$
(\sqrt{m} + \sqrt{n})^2 = (\sqrt{253})^2
$$
$$
m + n + 2\sqrt{mn} = 253
$$

**Pasul 3: Izolăm termenul cu radicalul**

$$
2\sqrt{mn} = 253 - (m + n)
$$

Observăm că partea stângă este un număr par (multiplu de 2), deci și partea dreaptă trebuie să fie par. Deoarece 253 este impar, $$ m + n $$ trebuie să fie impar, ceea ce implică că unul dintre $$ m $$ sau $$ n $$ este par și celălalt impar.

**Pasul 4: Introducem o variabilă intermediară**

Notăm $$ k = \sqrt{mn} $$. Astfel, ecuația devine:
$$
2k = 253 - (m + n)
$$
$$
k = \frac{253 - (m + n)}{2}
$$

Pentru ca $$ k $$ să fie un număr real, trebuie ca $$ 253 - (m + n) > 0 $$, adică $$ m + n < 253 $$.

**Pasul 5: Analizăm constrângerile asupra discriminantului**

Considerăm ecuația quadratică:
$$
x^2 - (m + n)x + mn = 0
$$
Discriminantul acestei ecuații este:
$$
D = (m + n)^2 - 4mn
$$
Substituind $$ mn = k^2 $$, obținem:
$$
D = (m + n)^2 - 4k^2
$$
Din Pasul 3, avem $$ k = \frac{253 - (m + n)}{2} $$, deci:
$$
D = (m + n)^2 - \left(\frac{2(253 - (m + n))}{2}\right)^2
$$
$$
D = (m + n)^2 - (253 - (m + n))^2
$$
$$
D = 2 \cdot 253 \cdot (m + n) - 253^2
$$
$$
D = 253(2(m + n) - 253)
$$

Pentru ca discriminantul $$ D $$ să fie un pătrat perfect, $$ 253(2(m + n) - 253) $$ trebuie să fie un pătrat perfect. Observăm că 253 este un număr prim (253 = 11 × 23), deci pentru ca produsul să fie un pătrat perfect, termenul $$ 2(m + n) - 253 $$ trebuie să fie multiplu de 253.

Notăm $$ 2(m + n) - 253 = 253t $$, unde $$ t $$ este un număr întreg. Astfel:
$$
2(m + n) = 253(t + 1)
$$
$$
m + n = \frac{253(t + 1)}{2}
$$

Pentru ca $$ m + n $$ să fie un număr natural, $$ t + 1 $$ trebuie să fie par, adică $$ t $$ impar. Totuși, din condiția $$ m + n < 253 $$, rezultă că:
$$
\frac{253(t + 1)}{2} < 253 \Rightarrow t + 1 < 2 \Rightarrow t < 1
$$
Cel mai mare $$ t $$ posibil este $$ t = 0 $$, ceea ce ar da $$ m + n = \frac{253}{2} $$, un număr fracționar, contrar faptului că $$ m $$ și $$ n $$ sunt numere naturale.

**Concluzie**

Am ajuns la o contradicție, ceea ce înseamnă că ipoteza inițială este falsă. Prin urmare, nu există două numere naturale nenule $$ m $$ și $$ n $$ care să satisfacă egalitatea $$ \sqrt{m} + \sqrt{n} = \sqrt{253} $$.
Nu există două numere naturale nenule $$ m $$ și $$ n $$ care să verifice egalitatea $$ \sqrt{m} + \sqrt{n} = \sqrt{253} $$.

OLIMPLADA LA MATEMATICA
etapa raională/municipală, 4 februarie 2023, Clasa a
10.1. Arătaţi că nu existã douã numere naturale nenule și care sã verifice egalitatea
.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Algebra Questions

OLIMPLADA LA MATEMATICA etapa raională/municipală, 4 februarie 2023, Clasa a 10.1. Arătaţi că nu existã douã numere naturale nenule și care sã verifice egalitatea .

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Algebra Questions

OLIMPLADA LA MATEMATICA
etapa raională/municipală, 4 februarie 2023, Clasa a
10.1. Arătaţi că nu existã douã numere naturale nenule și care sã verifice egalitatea
.