4. 19 Du skal nå vise to resultater som kan være verdt å huske, da de dukker op mange sammenhenger. Vis at $$ \left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}} \quad $$ b $$ (\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

For å vise de to derivatresultatene $$ \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^{2}} $$ og $$ (\sqrt{x})' = \frac{1}{2 \sqrt{x}} $$, kan vi bruke grunnleggende regler for derivasjon.

### 1. Derivert av $$ \frac{1}{x} $$

Funksjonen kan også skrives som $$ x^{-1} $$. Vi bruker potensregelen for derivasjon, som sier at hvis $$ f(x) = x^n $$, så er $$ f'(x) = n \cdot x^{n-1} $$.

$$
\left( \frac{1}{x} \right)' = \left( x^{-1} \right)' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^{2}}
$$

### 2. Derivert av $$ \sqrt{x} $$

Funksjonen $$ \sqrt{x} $$ kan skrives som $$ x^{1/2} $$. Igjen bruker vi potensregelen:

$$
(\sqrt{x})' = \left( x^{\frac{1}{2}} \right)' = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}
$$

### Oppsummering

- $$ \left( \frac{1}{x} \right)' = -\frac{1}{x^{2}} $$
- $$ (\sqrt{x})' = \frac{1}{2 \sqrt{x}} $$

Disse resultatene er nyttige å huske da de ofte forekommer i ulike sammenhenger innen matematikk og anvendelser som fysikk og ingeniørfag.
Her er de to derivertene: 1. $$ \left( \frac{1}{x} \right)' = -\frac{1}{x^{2}} $$ 2. $$ (\sqrt{x})' = \frac{1}{2 \sqrt{x}} $$ Disse er nyttige å huske for å løse ulike matematiske problemer.

4. 19 Du skal nå vise to resultater som kan være verdt å huske, da de dukker op mange sammenhenger. Vis at \( \left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}} \quad \) b \( (\sqrt{x})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}} \)

Real Tutor Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Calculus Questions