363. V pravilnem šestkotniku $$ A B C D E F $$ s stranico a narišite vektorja $$ \overline{F B} $$ in $$ \overrightarrow{D F} $$ ter ju izrazite z vektorjema $$ \vec{a}=\overrightarrow{D E} $$ in $$ \bar{b}=\overrightarrow{C B} $$. Koliko meri kot med vektorjema $$ \overrightarrow{F B} $$ in $$ \overrightarrow{D F} $$ ?

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Da rešimo problem, najprej definiramo točke pravilnega šestkotnika $$ A B C D E F $$ in njihove koordinate. V pravilnem šestkotniku so točke razporejene enakomerno okoli izhodišča. Predpostavimo, da je središče šestkotnika v izhodišču in da je stranica $$ a $$.

Koordinate točk so:
- $$ A( a, 0) $$
- $$ B\left( \frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2} \right) $$
- $$ C\left( -\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2} \right) $$
- $$ D(-a, 0) $$
- $$ E\left( -\frac{a}{2}, -\frac{a \sqrt{3}}{2} \right) $$
- $$ F\left( \frac{a}{2}, -\frac{a \sqrt{3}}{2} \right) $$

Sedaj bomo izračunali vektorje $$ \overline{F B} $$ in $$ \overrightarrow{D F} $$.

1. **Izračunajmo vektor $$ \overline{F B} $$**:
   $$
   \overline{F B} = B - F = \left( \frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2} \right) - \left( \frac{a}{2}, -\frac{a \sqrt{3}}{2} \right) = \left( 0, a \sqrt{3} \right)
   $$

2. **Izračunajmo vektor $$ \overrightarrow{D F} $$**:
   $$
   \overrightarrow{D F} = F - D = \left( \frac{a}{2}, -\frac{a \sqrt{3}}{2} \right) - (-a, 0) = \left( \frac{a}{2} + a, -\frac{a \sqrt{3}}{2} \right) = \left( \frac{3a}{2}, -\frac{a \sqrt{3}}{2} \right)
   $$

3. **Izrazimo vektorje $$ \overline{F B} $$ in $$ \overrightarrow{D F} $$ z vektorjema $$ \vec{a} = \overrightarrow{D E} $$ in $$ \bar{b} = \overrightarrow{C B} $$**:
   - Vektor $$ \vec{a} = \overrightarrow{D E} = E - D = \left( -\frac{a}{2}, -\frac{a \sqrt{3}}{2} \right) - (-a, 0) = \left( \frac{a}{2}, -\frac{a \sqrt{3}}{2} \right) $$
   - Vektor $$ \bar{b} = \overrightarrow{C B} = B - C = \left( \frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2} \right) - \left( -\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2} \right) = \left( a, 0 \right) $$

Sedaj lahko izrazimo vektorje $$ \overline{F B} $$ in $$ \overrightarrow{D F} $$:
- $$ \overline{F B} = \bar{b} \cdot \sqrt{3} $$
- $$ \overrightarrow{D F} = \frac{3}{2} \vec{a} + \bar{b} $$

4. **Izračunajmo kot med vektorjema $$ \overrightarrow{F B} $$ in $$ \overrightarrow{D F} $$**:
Kot med dvema vektorjema $$ \vec{u} $$ in $$ \vec{v} $$ lahko izračunamo s formulo:
$$
\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}
$$

Izračunajmo dolžine vektorjev in njihov skalarni produkt:
- Dolžina $$ \overline{F B} $$:
$$
|\overline{F B}| = a \sqrt{3}
$$
- Dolžina $$ \overrightarrow{D F} $$:
$$
|\overrightarrow{D F}| = \sqrt{\left( \frac{3a}{2} \right)^2 + \left( -\frac{a \sqrt{3}}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4} + \frac{3a^2}{4}} = \sqrt{3a^2} = a \sqrt{3}
$$
- Skalarni produkt:
$$
\overline{F B} \cdot \overrightarrow{D F} = (0, a \sqrt{3}) \cdot \left( \frac{3a}{2}, -\frac{a \sqrt{3}}{2} \right) = 0 \cdot \frac{3a}{2} + a \sqrt{3} \cdot \left( -\frac{a \sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{3a^2}{2}
$$

Sedaj lahko izračunamo kot:
$$
\cos(\theta) = \frac{-\frac{3a^2}{2}}{(a \sqrt{3})(a \sqrt{3})} = \frac{-\frac{3a^2}{2}}{3a^2} = -\frac{1}{2}
$$

Zato je:
$$
\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ
$$

Tako kot med vektorjema $$ \overrightarrow{F B} $$ in $$ \overrightarrow{D F} $$ meri $$ 120^\circ $$.
Kot med vektorjema $$ \overrightarrow{F B} $$ in $$ \overrightarrow{D F} $$ je $$ 120^\circ $$.

Real Tutor Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Geometry Questions