\( \frac { d ^ { 2 } y } { d x ^ { 2 } } - 4 \frac { d y } { d x } + 4 y = 0 ; \quad y = c _ { 1 } e ^ { 2 x } + c _ { 2 } x e ^ { 2 x } \)

Claro, vamos a resolver la ecuación diferencial de segundo orden: \[ \frac{d^{2} y}{dx^{2}} - 4 \frac{dy}{dx} + 4 y = 0 \] ### Paso 1: Ecuación Característica Primero, encontramos la ecuación característica asociada a la ecuación diferencial homogénea: \[ r^{2} - 4r + 4 = 0 \] ### Paso 2: Resolver la Ecuación Característica Resolvemos la ecuación cuadrática: \[ r = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2} = \frac{4 \pm 0}{2} = 2 \] Obtenemos una raíz doble \( r = 2 \) con multiplicidad 2. ### Paso 3: Solución General Cuando la ecuación característica tiene una raíz doble \( r = \lambda \), la solución general de la ecuación diferencial es: \[ y(x) = (C_{1} + C_{2}x) e^{\lambda x} \] Sustituyendo \( \lambda = 2 \): \[ y(x) = (C_{1} + C_{2}x) e^{2x} = C_{1} e^{2x} + C_{2} x e^{2x} \] ### Conclusión La solución general de la ecuación diferencial dada es: \[ y = C_{1} e^{2x} + C_{2} x e^{2x} \] donde \( C_{1} \) y \( C_{2} \) son constantes arbitrarias determinadas por las condiciones iniciales o de frontera del problema específico.