(a) Se te da el punto $$ (1, \pi / 2) $$ en coordenadas polares. (i) Encuentra otro par de coordenadas polares para este punto de tal manera quer $$ 0 Y 2 \pi \leq heta

Question

(a) Se te da el punto $$ (1, \pi / 2) $$ en coordenadas polares. (i) Encuentra otro par de coordenadas polares para este punto de tal manera quer $$ >0 Y 2 \pi \leq heta<4 \pi $$. $$ r=\square $$ $$ heta=\square $$ (ii) Encuentra otro par de coordenadas polares para este punto de tal manera quer $$ <0 $$ Y0 $$ \leq heta<2 \pi $$. $$ r=\square $$ $$ heta=\square $$ (b) Se te da el punto $$ (-2, \pi / 4) $$ en coordenadas polares. (i) Encuentra otro par de coordenadas polares para este punto de tal manera quer $$ >0 Y 2 \pi \leq heta<4 \pi $$. $$ r=\square $$ $$ heta=\square $$ (ii) Encuentra otro par de coordenadas polares para este punto de tal manera quer $$ <0 Y-2 \pi \leq heta<0 $$. $$ r=\square $$

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**(a) Se te da el punto en coordenadas polares: $$ (1,\pi/2) $$.** **(a)(i) Buscar una representación con $$ r>0 $$ y $$ 2\pi \le \theta < 4\pi $$.** Recordamos que sumar $$ 2\pi $$ al ángulo de una coordenada polar representa el mismo punto porque: $$ (1,\pi/2) = \left( 1, \pi/2 + 2\pi \right) = \left( 1, \frac{5\pi}{2} \right) $$ Ya que $$ \frac{5\pi}{2} $$ está en el intervalo $$[2\pi,4\pi)$$: - $$ r = 1 $$ - $$ \theta = \frac{5\pi}{2} $$ --- **(a)(ii) Buscar una representación con $$ r<0 $$ y $$ 0 \le \theta < 2\pi $$.** Sabemos que una coordenada polar con $$ r<0 $$ se puede escribir como $$ (r,\theta) = (-r,\theta+\pi) $$ Partiendo de $$ (1,\pi/2) $$ queremos encontrar $$(r,\theta)$$ con $$ r=-1 $$ tal que: $$ (-1,\theta) = (1,\theta+\pi) = (1,\pi/2) \quad \text{(para representar el mismo punto)} $$ Es decir, necesitamos que: $$ \theta+\pi \equiv \frac{\pi}{2} \quad (\text{mód }2\pi) $$ La solución general es: $$ \theta+\pi = \frac{\pi}{2} + 2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z} $$ Probaremos con $$ k=1 $$: $$ \theta+\pi = \frac{\pi}{2} + 2\pi \quad \Longrightarrow \quad \theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi - \pi = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} $$ Como $$ \frac{3\pi}{2} \in [0,2\pi) $$, la representación es: - $$ r = -1 $$ - $$ \theta = \frac{3\pi}{2} $$ --- **(b) Se te da el punto en coordenadas polares: $$ (-2,\pi/4) $$.** Primero determinamos las coordenadas cartesianas del punto: $$ x = -2\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2}, \quad y = -2\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2} $$ También podemos encontrar una forma de representar este mismo punto con $$ r>0 $$ aplicando que, para $$ r<0 $$: $$ (-r,\theta) = (r,\theta+\pi) $$ Calculamos: $$ (-2,\pi/4) = \left(2, \frac{\pi}{4}+\pi\right) = \left(2, \frac{5\pi}{4}\right) $$ --- **(b)(i) Buscar una representación con $$ r>0 $$ y $$ 2\pi \le \theta < 4\pi $$.** Tenemos la representación positiva $$ \left(2,\frac{5\pi}{4}\right) $$, pero dado que $$ \frac{5\pi}{4} \notin [2\pi,4\pi) $$, añadimos $$ 2\pi $$: $$ \theta = \frac{5\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4} + \frac{8\pi}{4} = \frac{13\pi}{4} $$ Esta representación cumple: - $$ r = 2 $$ - $$ \theta = \frac{13\pi}{4} $$ --- **(b)(ii) Buscar una representación con $$ r<0 $$ y $$ -2\pi \le \theta < 0 $$.** Se parte de la representación que obtuvimos para el punto en forma positiva: $$ \left(2,\frac{5\pi}{4}\right) $$ Para obtener la forma con $$ r<0 $$, usamos la relación inversa: $$ (r,\theta) \quad \text{con } r<0 \quad \Longleftrightarrow \quad (-r, \theta+\pi) $$ Queremos obtener $$ r = -2 $$ y determinar $$ \theta $$ tal que: $$ \theta+\pi \equiv \frac{5\pi}{4} \quad (\text{mód }2\pi) $$ La ecuación es: $$ \theta+\pi = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z} $$ Buscamos $$ \theta $$ en $$[ -2\pi,0 )$$. Para $$ k=-1 $$: $$ \theta+\pi = \frac{5\pi}{4} - 2\pi = \frac{5\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} \quad \Longrightarrow \quad \theta = -\frac{3\pi}{4} - \pi = -\frac{7\pi}{4} $$ Verificamos que $$ -\frac{7\pi}{4} \in [-2\pi,0) $$. La representación es: - $$ r = -2 $$ - $$ \theta = -\frac{7\pi}{4} $$ --- **Respuestas finales:** (a) (i) $$ r=1,\quad \theta=\frac{5\pi}{2} $$ (ii) $$ r=-1,\quad \theta=\frac{3\pi}{2} $$ (b) (i) $$ r=2,\quad \theta=\frac{13\pi}{4} $$ (ii) $$ r=-2,\quad \theta=-\frac{7\pi}{4} $$ **(a)** (i) $$ r = 1 $$, $$ \theta = \frac{5\pi}{2} $$ (ii) $$ r = -1 $$, $$ \theta = \frac{3\pi}{2} $$ **(b)** (i) $$ r = 2 $$, $$ \theta = \frac{13\pi}{4} $$ (ii) $$ r = -2 $$, $$ \theta = -\frac{7\pi}{4} $$

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