2) Dado el sistema de ecuaciones: $$ \left\{\begin{array}{l}x+z=4 \ x+y=3 \ y+z=5\end{array} ight. $$ i) Resolver por eliminación gaussiana. ii) Interpretar geométricamente el sistema y su conjunto solución. iii) Dar la solucion en notación de conjunto y con ecuación vectorial.

Question

2) Dado el sistema de ecuaciones: $$ \left\{\begin{array}{l}x+z=4 \ x+y=3 \ y+z=5\end{array}ight. $$ i) Resolver por eliminación gaussiana. ii) Interpretar geométricamente el sistema y su conjunto solución. iii) Dar la solucion en notación de conjunto y con ecuación vectorial.

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Para resolver el sistema de ecuaciones dado:

$$
\left\{
\begin{array}{l}
x + z = 4 \quad (1) \
x + y = 3 \quad (2) \
y + z = 5 \quad (3)
\end{array}
\right.
$$

### i) Resolver por eliminación gaussiana

Primero, escribimos el sistema en forma de matriz aumentada:

$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & | & 4 \
1 & 1 & 0 & | & 3 \
0 & 1 & 1 & | & 5
\end{pmatrix}
$$

Ahora, aplicamos operaciones elementales para llevar la matriz a su forma escalonada.

1. Restamos la primera fila de la segunda fila:

$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & | & 4 \
0 & 1 & -1 & | & -1 \
0 & 1 & 1 & | & 5
\end{pmatrix}
$$

2. Restamos la segunda fila de la tercera fila:

$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & | & 4 \
0 & 1 & -1 & | & -1 \
0 & 0 & 2 & | & 6
\end{pmatrix}
$$

3. Dividimos la tercera fila por 2:

$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & | & 4 \
0 & 1 & -1 & | & -1 \
0 & 0 & 1 & | & 3
\end{pmatrix}
$$

4. Sustituimos la tercera fila en la segunda fila:

$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & | & 4 \
0 & 1 & 0 & | & 2 \
0 & 0 & 1 & | & 3
\end{pmatrix}
$$

5. Sustituimos la tercera fila en la primera fila:

$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & | & 1 \
0 & 1 & 0 & | & 2 \
0 & 0 & 1 & | & 3
\end{pmatrix}
$$

De esta forma, tenemos el sistema en forma escalonada:

$$
\begin{aligned}
x &= 1 \
y &= 2 \
z &= 3
\end{aligned}
$$

### ii) Interpretar geométricamente el sistema y su conjunto solución

Cada ecuación del sistema representa un plano en el espacio tridimensional. La solución del sistema corresponde al punto de intersección de estos tres planos. En este caso, los tres planos se intersectan en un único punto, que es la solución del sistema.

### iii) Dar la solución en notación de conjunto y con ecuación vectorial

La solución del sistema es:

$$
\{(x, y, z) \mid x = 1, y = 2, z = 3\} = \{(1, 2, 3)\}
$$

En notación vectorial, la solución se puede expresar como:

$$
\begin{pmatrix}
x \
y \
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \
2 \
3
\end{pmatrix}
$$

Por lo tanto, la solución del sistema es el punto $$ (1, 2, 3) $$ en el espacio tridimensional.
i) La solución del sistema por eliminación gaussiana es $$ x = 1, y = 2, z = 3 $$. ii) Geométricamente, los planos se intersectan en el punto $$ (1, 2, 3) $$. iii) La solución en notación de conjunto es $$ \{(1, 2, 3)\} $$ y en ecuación vectorial es $$ \begin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{pmatrix} $$.

Dado el sistema de ecuaciones:
i) Resolver por eliminación gaussiana.
ii) Interpretar geométricamente el sistema y su conjunto solución.
iii) Dar la solucion en notación de conjunto y con ecuación vectorial.

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Dado el sistema de ecuaciones: i) Resolver por eliminación gaussiana. ii) Interpretar geométricamente el sistema y su conjunto solución. iii) Dar la solucion en notación de conjunto y con ecuación vectorial.