solvi le seguenti equazioni e disequazioni logaritmiche: \[ \ln \left(-x^{2}+3 x-2\right)=\ln (x-2)+\ln (1-x) \]

Per risolvere l'equazione logaritmica \(\ln \left(-x^{2}+3 x-2\right)=\ln (x-2)+\ln (1-x)\), innanzitutto utilizziamo le proprietà dei logaritmi. Possiamo riscrivere il secondo membro dell'equazione come \(\ln \left((x-2)(1-x)\right)\). Quindi, otteniamo: \[ \ln \left(-x^{2}+3 x-2\right) = \ln \left((x-2)(1-x)\right). \] Poiché le funzioni logaritmiche sono definite e uguali se i loro argomenti sono positivi, possiamo eguagliare gli argomenti: \[ -x^{2}+3 x-2 = (x-2)(1-x). \] Espandiamo il lato destro: \[ -x^{2}+3 x-2 = -x^{2} + 3 x - 2. \] Semplificando, vediamo che i due lati sono identici e ciò implica che l'equazione è verificata per tutti i valori di \(x\) per cui gli argomenti dei logaritmi sono positivi. Ora verifichiamo i domini: 1. \(-x^2 + 3x - 2 > 0\): Facendo il calcolo, abbiamo: \[ -x^2 + 3x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x-1)(x-2) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \quad \text{e} \quad x = 2. \] Quindi, il segno è positivo per \(1 < x < 2\). 2. \(x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2\). 3. \(1 - x > 0 \Rightarrow x < 1\). Combinando i risultati, troviamo che gli argomenti dei logaritmi sono positivi solo quando \(1 < x < 2\), ma questo non è compatibile con le altre condizioni che richiedono \(x > 2\) e \(x < 1\). Conclusione: non ci sono soluzioni valide per l'equazione logaritmica data.