90. Un rettangolo ha l'area di $$ 4320 \mathrm{dm}^{2} $$ e una dimensione $$ 8 / 15 $$ dell'altra. Il lato di un quadrato è congruente a $$ 1 / 6 $$ della diagonale del rettangolo. Calcola l'area del quadrato. [ $$ \left.289 \mathrm{dm}^{2}\right] $$

Question

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Per risolvere il problema, seguiamo i passaggi passo dopo passo.

**Dati:**
- Area del rettangolo: $$ A = 4320 \, \text{dm}² $$
- Una dimensione è $$ \frac{8}{15} $$ dell'altra.
- Il lato del quadrato è $$ \frac{1}{6} $$ della diagonale del rettangolo.

**Passaggio 1: Definire le dimensioni del rettangolo**

Sia $$ x $$ una dimensione del rettangolo e $$ y $$ l'altra. Dato che una dimensione è $$ \frac{8}{15} $$ dell'altra:
$$ x = \frac{8}{15}y $$

**Passaggio 2: Calcolare le dimensioni del rettangolo usando l'area**

L'area del rettangolo è:
$$ A = x \cdot y = 4320 \, \text{dm}² $$

Sostituendo $$ x $$:
$$ \frac{8}{15}y \cdot y = 4320 $$
$$ \frac{8}{15}y² = 4320 $$
$$ y² = 4320 \cdot \frac{15}{8} $$
$$ y² = 8100 $$
$$ y = 90 \, \text{dm} $$

Ora, calcoliamo $$ x $$:
$$ x = \frac{8}{15} \cdot 90 = 48 \, \text{dm} $$

**Passaggio 3: Calcolare la diagonale del rettangolo**

La diagonale $$ d $$ del rettangolo si calcola usando il teorema di Pitagora:
$$ d = \sqrt{x² + y²} $$
$$ d = \sqrt{48² + 90²} $$
$$ d = \sqrt{2304 + 8100} $$
$$ d = \sqrt{10404} $$
$$ d = 102 \, \text{dm} $$

**Passaggio 4: Determinare il lato del quadrato**

Il lato del quadrato è $$ \frac{1}{6} $$ della diagonale:
$$ l = \frac{1}{6} \cdot 102 = 17 \, \text{dm} $$

**Passaggio 5: Calcolare l'area del quadrato**

L'area del quadrato $$ A_q $$ è:
$$ A_q = l² = 17² = 289 \, \text{dm}² $$

**Risposta Finale:**
L'area del quadrato è $$ 289 \, \text{dm}² $$.
L'area del quadrato è $$ 289 \, \text{dm}² $$.

Un rettangolo ha l’area di
e una dimensione dell’altra.
Il lato di un quadrato è congruente a
della diagonale del rettangolo. Calcola
l’area del quadrato.
[

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