90. Un rettangolo ha l'area di \( 4320 \mathrm{dm}^{2} \) e una dimensione \( 8 / 15 \) dell'altra. Il lato di un quadrato è congruente a \( 1 / 6 \) della diagonale del rettangolo. Calcola l'area del quadrato. [ \( \left.289 \mathrm{dm}^{2}\right] \)

Per risolvere il problema, seguiamo i passaggi passo dopo passo. **Dati:** - Area del rettangolo: \( A = 4320 \, \text{dm}² \) - Una dimensione è \( \frac{8}{15} \) dell'altra. - Il lato del quadrato è \( \frac{1}{6} \) della diagonale del rettangolo. **Passaggio 1: Definire le dimensioni del rettangolo** Sia \( x \) una dimensione del rettangolo e \( y \) l'altra. Dato che una dimensione è \( \frac{8}{15} \) dell'altra: \[ x = \frac{8}{15}y \] **Passaggio 2: Calcolare le dimensioni del rettangolo usando l'area** L'area del rettangolo è: \[ A = x \cdot y = 4320 \, \text{dm}² \] Sostituendo \( x \): \[ \frac{8}{15}y \cdot y = 4320 \] \[ \frac{8}{15}y² = 4320 \] \[ y² = 4320 \cdot \frac{15}{8} \] \[ y² = 8100 \] \[ y = 90 \, \text{dm} \] Ora, calcoliamo \( x \): \[ x = \frac{8}{15} \cdot 90 = 48 \, \text{dm} \] **Passaggio 3: Calcolare la diagonale del rettangolo** La diagonale \( d \) del rettangolo si calcola usando il teorema di Pitagora: \[ d = \sqrt{x² + y²} \] \[ d = \sqrt{48² + 90²} \] \[ d = \sqrt{2304 + 8100} \] \[ d = \sqrt{10404} \] \[ d = 102 \, \text{dm} \] **Passaggio 4: Determinare il lato del quadrato** Il lato del quadrato è \( \frac{1}{6} \) della diagonale: \[ l = \frac{1}{6} \cdot 102 = 17 \, \text{dm} \] **Passaggio 5: Calcolare l'area del quadrato** L'area del quadrato \( A_q \) è: \[ A_q = l² = 17² = 289 \, \text{dm}² \] **Risposta Finale:** L'area del quadrato è \( 289 \, \text{dm}² \).