90. Un rettangolo ha l'area di \( 4320 \mathrm{dm}^{2} \) e una dimensione \( 8 / 15 \) dell'altra. Il lato di un quadrato è congruente a \( 1 / 6 \) della diagonale del rettangolo. Calcola l'area del quadrato. [ \( \left.289 \mathrm{dm}^{2}\right] \)

Per risolvere il problema, iniziamo col definire le dimensioni del rettangolo. Se chiamiamo \( x \) la lunghezza maggiore del rettangolo, l'altra dimensione sarà \( \frac{8}{15}x \). L'area del rettangolo è data dalla formula: \[ x \cdot \frac{8}{15}x = 4320 \] Risolviamo questa equazione: \[ \frac{8}{15}x^2 = 4320 \] Moltiplicando entrambi i lati per \( \frac{15}{8} \): \[ x^2 = 4320 \cdot \frac{15}{8} \] Calcoliamo: \[ x^2 = 8100 \implies x = 90 \, \text{dm} \] Ora calcoliamo l'altra dimensione: \[ \frac{8}{15} \cdot 90 = 48 \, \text{dm} \] Ora possiamo calcolare la diagonale \( d \) del rettangolo usando il teorema di Pitagora: \[ d = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{90^2 + 48^2} = \sqrt{8100 + 2304} = \sqrt{10404} = 102 \, \text{dm} \] Il lato del quadrato è congruente a \( \frac{1}{6} \) della diagonale del rettangolo: \[ lato = \frac{1}{6} \cdot 102 = 17 \, \text{dm} \] Infine, calcoliamo l'area del quadrato: \[ \text{Area} = lato^2 = 17^2 = 289 \, \text{dm}^2 \] Quindi, l'area del quadrato è \( \boxed{289 \, \text{dm}^2} \).