Partie I. Soit $$ g $$ la fonction définie sur $$ \mathbb{R} $$ par: $$ (x)=x^{3}-3 x-4 $$. Etudier le sens de variation de $$ g $$ sur $$ \mathbb{R} $$. Démontrer que l'équation $$ g(x)=0 $$ admet dans $$ \mathbb{R} $$ une solution unique que l'on notera $$ \alpha $$. Donner une valeur approchée de $$ \alpha $$ à $$ 10^{-2} $$ près. Déterminer le signe de $$ g $$ sur $$ \mathbb{R} $$.

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**Partie I** Soit $$ g $$ la fonction définie sur $$ \mathbb{R} $$ par : $$ g(x) = x^{3} - 3x - 4 $$ --- ### 1. Étude du sens de variation de $$ g $$ sur $$ \mathbb{R} $$ Pour déterminer le sens de variation de $$ g $$, calculons sa dérivée première : $$ g'(x) = \frac{d}{dx}(x^{3} - 3x - 4) = 3x^{2} - 3 $$ $$ g'(x) = 3(x^{2} - 1) = 3(x - 1)(x + 1) $$ Les points critiques sont les solutions de $$ g'(x) = 0 $$ : $$ 3(x - 1)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = -1 \text{ et } x = 1 $$ On étudie le signe de $$ g'(x) $$ sur les intervalles déterminés par ces points critiques : - **Pour $$ x < -1 $$ :** $$ x^{2} - 1 > 0 \Rightarrow g'(x) > 0 $$ $$ g $$ est **croissante** sur $$ (-\infty, -1) $$. - **Pour $$ -1 < x < 1 $$ :** $$ x^{2} - 1 < 0 \Rightarrow g'(x) < 0 $$ $$ g $$ est **décroissante** sur $$ (-1, 1) $$. - **Pour $$ x > 1 $$ :** $$ x^{2} - 1 > 0 \Rightarrow g'(x) > 0 $$ $$ g $$ est **croissante** sur $$ (1, +\infty) $$. **Résumé :** $$ \begin{cases} g \text{ est croissante sur } (-\infty, -1) \ g \text{ est décroissante sur } (-1, 1) \ g \text{ est croissante sur } (1, +\infty) \end{cases} $$ --- ### 2. Unicité de la solution de l'équation $$ g(x) = 0 $$ et approximation de $$ \alpha $$ **Unicité :** La fonction $$ g $$ est de degré 3, et son comportement asymptotique est : $$ \lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty $$ $$ \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty $$ De plus, $$ g $$ admet un maximum local en $$ x = -1 $$ et un minimum local en $$ x = 1 $$ : $$ g(-1) = (-1)^3 - 3(-1) - 4 = -1 + 3 - 4 = -2 $$ $$ g(1) = 1^3 - 3(1) - 4 = 1 - 3 - 4 = -6 $$ Ainsi, le graphe de $$ g $$ ne croise l'axe des abscisses qu'une seule fois, ce qui garantit l'existence d'une solution unique $$ \alpha $$ de l'équation $$ g(x) = 0 $$. **Approximation de $$ \alpha $$ à $$ 10^{-2} $$ près :** Cherchons $$ \alpha $$ telle que $$ g(\alpha) = 0 $$. 1. **Intervalle initial :** $$ g(2) = 2^3 - 3 \times 2 - 4 = 8 - 6 - 4 = -2 $$ $$ g(3) = 3^3 - 3 \times 3 - 4 = 27 - 9 - 4 = 14 $$ La solution $$ \alpha $$ se trouve dans l'intervalle $$ (2, 3) $$. 2. **Affinement avec la méthode de Newton-Raphson :** - **Itération 1 :** $$ x_0 = 2.2 $$ $$ g(2.2) = 2.2^3 - 3 \times 2.2 - 4 = 10.648 - 6.6 - 4 = 0.048 $$ $$ g'(2.2) = 3 \times (2.2)^2 - 3 = 3 \times 4.84 - 3 = 14.52 - 3 = 11.52 $$ $$ x_1 = x_0 - \frac{g(x_0)}{g'(x_0)} = 2.2 - \frac{0.048}{11.52} \approx 2.2 - 0.0042 = 2.1958 $$ - **Itération 2 :** $$ g(2.1958) \approx 2.1958^3 - 3 \times 2.1958 - 4 \approx 10.566 - 6.587 - 4 \approx -0.021 $$ $$ g'(2.1958) \approx 3 \times (2.1958)^2 - 3 \approx 3 \times 4.821 - 3 \approx 14.463 - 3 = 11.463 $$ $$ x_2 = 2.1958 - \frac{-0.021}{11.463} \approx 2.1958 + 0.0018 = 2.1976 $$ - **Itération 3 :** $$ g(2.1976) \approx 0.001 $$ L'approximation atteint la précision souhaitée. Ainsi, la solution unique est : $$ \alpha \approx 2.20 $$ --- ### 3. Détermination du signe de $$ g $$ sur $$ \mathbb{R} $$ Grâce à l'unicité de la solution $$ \alpha $$ et au comportement de $$ g $$ : - **Pour $$ x < \alpha $$ :** $$ g(x) < 0 $$ - **Pour $$ x = \alpha $$ :** $$ g(x) = 0 $$ - **Pour $$ x > \alpha $$ :** $$ g(x) > 0 $$ **Résumé du signe de $$ g $$ :** $$ g(x) = \begin{cases} - & \text{si } x < \alpha \ 0 & \text{si } x = \alpha \ + & \text{si } x > \alpha \end{cases} $$ où $$ \alpha \approx 2.20 $$. **Partie I** Soit $$ g(x) = x^{3} - 3x - 4 $$. 1. **Sens de variation de $$ g $$ sur $$ \mathbb{R} $$ :** - $$ g $$ est croissante sur $$ (-\infty, -1) $$ et $$ (1, +\infty) $$. - $$ g $$ est décroissante sur $$ (-1, 1) $$. 2. **Unicité de la solution de $$ g(x) = 0 $$ :** - Il existe une solution unique $$ \alpha \approx 2.20 $$. 3. **Signe de $$ g $$ sur $$ \mathbb{R} $$ :** - $$ g(x) < 0 $$ si $$ x < 2.20 $$ - $$ g(x) = 0 $$ si $$ x = 2.20 $$ - $$ g(x) > 0 $$ si $$ x > 2.20 $$

Partie I. Soit la fonction définie sur par:
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Etudier le sens de variation de sur .
Démontrer que l’équation admet dans une
solution unique que l’on notera . Donner une valeur
approchée de à près.
Déterminer le signe de sur .

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