43. Halle el producto de las soluciones de la ecuación: $$ \sqrt{2-3 x}+\sqrt{11+3 x}=5 $$ a) $$ 14 / 9 $$. b) $$ 15 / 7 $$ c) $$ 4 / 3 $$ d) $$ 20 / 9 $$ e) Ninguno

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver la ecuación:

$$
\sqrt{2 - 3x} + \sqrt{11 + 3x} = 5
$$

**Paso 1: Introducir variables auxiliares**

Sea $$ y = \sqrt{2 - 3x} $$ y $$ z = \sqrt{11 + 3x} $$. Entonces tenemos:

$$
y + z = 5
$$

**Paso 2: Elevar al cuadrado ambos lados**

$$
(y + z)^2 = 25 \
y^2 + 2yz + z^2 = 25
$$

Sabemos que:

$$
y^2 = 2 - 3x \
z^2 = 11 + 3x
$$

Por lo tanto:

$$
y^2 + z^2 = (2 - 3x) + (11 + 3x) = 13
$$

Sustituyendo en la ecuación cuadrática:

$$
13 + 2yz = 25 \
2yz = 12 \
yz = 6
$$

**Paso 3: Encontrar $$ y $$ y $$ z $$**

Tenemos el sistema:

$$
y + z = 5 \
yz = 6
$$

Esto corresponde a una ecuación cuadrática:

$$
t^2 - 5t + 6 = 0 \
(t - 2)(t - 3) = 0
$$

Por lo tanto, las soluciones son $$ y = 2 $$ y $$ z = 3 $$ o viceversa.

**Caso 1: $$ y = 2 $$ y $$ z = 3 $$**

$$
\sqrt{2 - 3x} = 2 \
2 - 3x = 4 \
-3x = 2 \
x = -\frac{2}{3}
$$

Verificación:

$$
\sqrt{11 + 3 \left(-\frac{2}{3}\right)} = \sqrt{9} = 3
$$

**Caso 2: $$ y = 3 $$ y $$ z = 2 $$**

$$
\sqrt{2 - 3x} = 3 \
2 - 3x = 9 \
-3x = 7 \
x = -\frac{7}{3}
$$

Verificación:

$$
\sqrt{11 + 3 \left(-\frac{7}{3}\right)} = \sqrt{4} = 2
$$

**Paso 4: Calcular el producto de las soluciones**

$$
x_1 \cdot x_2 = \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{14}{9}
$$

**Respuesta correcta:**

a) $$ \frac{14}{9} $$.
El producto de las soluciones es $$ \frac{14}{9} $$.

Halle el producto de las soluciones de la ecuación:

a) .
b)
c)
d)
e) Ninguno

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Algebra Questions

Halle el producto de las soluciones de la ecuación: a) . b) c) d) e) Ninguno