Ta placa formada por la región limitada por \( y=x^{4} \) y la recta \( y=16 \). ( \( y \) en pies) se sumerge verticalmente en agua, hasta que la recta \( y=16 \) quede a nivel del agua. La fuerza ejercida por el agua sobre un lado de la placa es: mos cercano).
Real Tutor Solution
Answer
Solution
Reviewed and approved by the UpStudy tutoring team
Explain 
Simplify this solution Beyond the Answer
Para calcular la fuerza ejercida por el agua sobre un lado de la placa, primero necesitamos determinar la profundidad a la que se encuentra cada punto de la placa cuando se sumerge hasta que \( y=16 \) está a nivel del agua. La placa está limitada por la curva \( y=x^{4} \) y la línea \( y=16 \). La placa se extiende desde \( x = -2 \) hasta \( x = 2 \) (porque \( x^{4}=16 \) da \( x=\pm 2 \)) y la forma de la placa tiene un área que se puede calcular. La fuerza ejercida por el agua sobre la placa se puede calcular con la fórmula \( F = \int_{A} y \, dA \), donde \( y \) es la profundidad del agua sobre la placa en cada punto. Así que debemos establecer la integral y aplicarle correctamente los límites. La parte más baja de la placa está a 0 pies y la más alta a 16 pies. Consecuentemente, el peso del agua que actúa sobre cada sección de la placa puede calcularse con el principio de Arquímedes, que nos dice que el peso del líquido desplazado es lo que ejerce un empuje. Para un cálculo práctico, integraremos la fuerza de presión a partir de la profundidad de inmersión, lo que resulta en: \[ F = \int_{-2}^{2} (16 - y) \cdot \text{ancho} \, dy \] Recuerda que el ancho de la placa varía según \( x \), por lo que debemos tener también en cuenta la forma de \( x^{4} \) al calcular el área de cada tira infinitesimal de la placa. La solución exacta implicaría ejecutar esta integral, representando el área en función de \( x \), y luego agrupar todos los términos para encontrar la fuerza total. ¡Y así es como los matemáticos hacen magia en el mundo real!
