Ta placa formada por la región limitada por $$ y=x^{4} $$ y la recta $$ y=16 $$. ( $$ y $$ en pies) se sumerge verticalmente en agua, hasta que la recta $$ y=16 $$ quede a nivel del agua. La fuerza ejercida por el agua sobre un lado de la placa es: mos cercano).

Question

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Para calcular la fuerza ejercida por el agua sobre un lado de la placa definida por $$ y = x^4 $$ y la recta $$ y = 16 $$ pies, seguiremos estos pasos:

### 1. **Comprender la Configuración**
La placa está sumergida verticalmente en agua, con la línea $$ y = 16 $$ a nivel del agua. Esto significa que el agua cubre desde $$ y = 16 $$ hacia abajo hasta $$ y = 0 $$.

### 2. **Determinar el Ancho de la Placa a Cada Altura $$ y $$**
Para una altura dada $$ y $$, los valores de $$ x $$ están dados por:
$$ x = \pm y^{1/4} $$
Por lo tanto, el ancho de la placa en esa altura es:
$$ \text{Ancho} = 2y^{1/4} $$

### 3. **Calcular la Fuerza Hidrostática**
La fuerza hidrostática $$ F $$ sobre una pequeña fracción de área $$ dA $$ es:
$$ dF = \gamma (16 - y) \, dA $$
donde:
- $$ \gamma $$ es el peso específico del agua ($$ \gamma = 62.4 \, \text{lb/ft}^3 $$)
- $$ (16 - y) $$ es la profundidad del agua a la altura $$ y $$
- $$ dA = \text{Ancho} \times dy = 2y^{1/4} dy $$

Integralmente, la fuerza total es:
$$ F = \int_{0}^{16} \gamma (16 - y) \cdot 2y^{1/4} \, dy $$
$$ F = 2\gamma \int_{0}^{16} (16y^{1/4} - y^{5/4}) \, dy $$

### 4. **Resolver la Integral**
Calculamos cada parte de la integral por separado:
$$
\int_{0}^{16} 16y^{1/4} \, dy = 16 \cdot \frac{4}{5} y^{5/4} \bigg|_0^{16} = \frac{64}{5} \cdot 32 = \frac{2048}{5}
$$
$$
\int_{0}^{16} y^{5/4} \, dy = \frac{4}{9} y^{9/4} \bigg|_0^{16} = \frac{4}{9} \cdot 512 = \frac{2048}{9}
$$
Entonces:
$$
\int_{0}^{16} (16y^{1/4} - y^{5/4}) \, dy = \frac{2048}{5} - \frac{2048}{9} = \frac{8192}{45}
$$

### 5. **Calcular la Fuerza Total**
$$ 
F = 2 \cdot 62.4 \cdot \frac{8192}{45} = \frac{16384 \cdot 62.4}{45} \approx 22,720 \, \text{lb} 
$$

### **Conclusión**
La fuerza ejercida por el agua sobre un lado de la placa es aproximadamente **22,720 libras**.
La fuerza ejercida por el agua sobre un lado de la placa es aproximadamente **22,720 libras**.

Ta placa formada por la región limitada por \( y=x^{4} \) y la recta \( y=16 \). ( \( y \) en pies) se sumerge verticalmente en agua, hasta que la recta \( y=16 \) quede a nivel del agua. La fuerza ejercida por el agua sobre un lado de la placa es: mos cercano).

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