(688) La base \( A B \) di un triangolo supera il doppio dell'al- tezza relativa ad \( A B \) di 2 cm . Aumentando di 3 cm sia la misura della base sia quella dell'altezza si ottiene un triangolo di area \( 60 \mathrm{~cm}^{2} \). Qual è l'area del triangolo ori- ginario?

Per risolvere il problema, seguiamo i seguenti passaggi: 1. **Definizioni iniziali:** - Sia \( AB \) la base del triangolo. - Sia \( h \) l'altezza relativa a \( AB \). 2. **Relazione tra base e altezza:** - La base \( AB \) supera il doppio dell'altezza di 2 cm: \[ AB = 2h + 2 \] 3. **Aumenti delle misure:** - Aumentando di 3 cm sia la base che l'altezza: \[ \text{Nuova base} = AB + 3 = 2h + 2 + 3 = 2h + 5 \] \[ \text{Nuova altezza} = h + 3 \] 4. **Calcolo dell'area del nuovo triangolo:** - L'area del nuovo triangolo è 60 cm²: \[ \frac{(2h + 5)(h + 3)}{2} = 60 \] - Moltiplicando entrambi i membri per 2: \[ (2h + 5)(h + 3) = 120 \] - Espandendo l'espressione: \[ 2h^2 + 6h + 5h + 15 = 120 \] \[ 2h^2 + 11h + 15 = 120 \] \[ 2h^2 + 11h - 105 = 0 \] 5. **Risoluzione dell'equazione quadratica:** - Calcoliamo il discriminante: \[ \Delta = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-105) = 121 + 840 = 961 = 31^2 \] - Soluzioni dell'equazione: \[ h = \frac{-11 \pm 31}{4} \] - \( h = 5 \) (soluzione positiva) - \( h = -10,5 \) (scartata) 6. **Calcolo dell'area originale:** - Base originale: \[ AB = 2h + 2 = 2 \cdot 5 + 2 = 12 \text{ cm} \] - Altezza originale: \[ h = 5 \text{ cm} \] - Area originale: \[ \text{Area} = \frac{AB \cdot h}{2} = \frac{12 \cdot 5}{2} = 30 \text{ cm}^2 \] **Risposta finale:** L'area del triangolo originario è \( 30 \ \mathrm{cm}^2 \).