\( \begin{array}{l}\text { What does the following } \\ \text { expression mean? } \\ 7 \text { ! } \\ 7+6+5+4+3+2+1 \\ 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\end{array} \) 7

La expresión presentada se refiere al **factorial de 7**, representado por \(7!\). A continuación, se explica cada una de las partes: 1. **\(7!\)**: - **Significado**: El factorial de un número entero positivo \(n\) (denotado como \(n!\)) es el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta \(n\). - **Para \(7!\)**: \[ 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 \] 2. **\(7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1\)**: - **Significado**: Esta expresión representa la **suma de los primeros 7 números enteros positivos**. - **Cálculo**: \[ 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28 \] - **Nota**: Esta suma no es igual al factorial de 7, ya que uno es una suma y el otro es un producto. 3. **\(7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\)**: - **Significado**: Esta es una representación explícita del **factorial de 7**, mostrando la multiplicación de todos los números desde 1 hasta 7. - **Cálculo**: \[ 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 \] 4. **Número 7**: - Simplemente indica el valor base para calcular el factorial, la suma o el producto mencionado anteriormente. **Resumen**: - **\(7!\)** (7 factorial) es igual a **5040** y representa el producto de todos los enteros positivos desde 1 hasta 7. - La suma **\(7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1\)** es **28**, que es una operación diferente al factorial. - La expresión multiplicativa **\(7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\)** también representa el factorial de 7, dando como resultado **5040**. El factorial se utiliza en diversas áreas de las matemáticas, como en cálculos de combinatorias, probabilidades y análisis de algoritmos.