8. आकृति 6.54 में $$ riangle \mathrm{ABC} $$ के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु O है तथा $$ \mathrm{OD} \perp \mathrm{BC}, \mathrm{OE} \perp \mathrm{AC} $$ और $$ \mathrm{OF} \perp \mathrm{AB} $$ है। दर्शाइए कि (i) $$ \mathrm{OA}^{2}+\mathrm{OB}^{2}+\mathrm{OC}^{2}-\mathrm{OD}^{2}-\mathrm{OE}^{2}-\mathrm{OF}^{2}=\mathrm{AF}^{2}+\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{CE}^{2} $$ (ii) $$ \mathrm{AF}^{2}+\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{CE}^{2}=\mathrm{AE}^{2}+\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{BF}^{2} $$

Question

8. आकृति 6.54 में $$ 	riangle \mathrm{ABC} $$ के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु O है तथा $$ \mathrm{OD} \perp \mathrm{BC}, \mathrm{OE} \perp \mathrm{AC} $$ और $$ \mathrm{OF} \perp \mathrm{AB} $$ है। दर्शाइए कि (i) $$ \mathrm{OA}^{2}+\mathrm{OB}^{2}+\mathrm{OC}^{2}-\mathrm{OD}^{2}-\mathrm{OE}^{2}-\mathrm{OF}^{2}=\mathrm{AF}^{2}+\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{CE}^{2} $$ (ii) $$ \mathrm{AF}^{2}+\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{CE}^{2}=\mathrm{AE}^{2}+\mathrm{CD}^{2}+\mathrm{BF}^{2} $$

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इस समस्या को हल करने के लिए, हम पहले दिए गए बिंदुओं और उनके बीच के संबंधों को समझेंगे।

### ज्ञात स्थितियाँ:
- $$ O $$ बिंदु $$ 	riangle ABC $$ के अभ्यंतर में है।
- $$ OD \perp BC $$, $$ OE \perp AC $$, और $$ OF \perp AB $$ हैं।

हम $$ OA, OB, OC, OD, OE, OF $$ के लिए बिंदुओं के बीच की दूरी का उपयोग करेंगे।

### (i) $$ OA^{2} + OB^{2} + OC^{2} - OD^{2} - OE^{2} - OF^{2} = AF^{2} + BD^{2} + CE^{2} $$

1. **पार्श्व रेखाएँ**: $$ OD, OE, OF $$ को $$ BC, AC, AB $$ पर खींचा गया है। 
2. **पार्श्व रेखाओं की लंबाई**: 
   - $$ OD $$ की लंबाई $$ OA $$ और $$ OB $$ के बीच की दूरी को प्रभावित करती है।
   - इसी प्रकार, $$ OE $$ और $$ OF $$ भी $$ OC $$ के लिए समान प्रभाव डालते हैं।

3. **दूरी का वर्ग**: 
   - $$ OA^{2} + OB^{2} + OC^{2} $$ में $$ O $$ से $$ A, B, C $$ की दूरी का वर्ग है।
   - $$ OD^{2}, OE^{2}, OF^{2} $$ में $$ O $$ से $$ D, E, F $$ की दूरी का वर्ग है।

4. **समीकरण का निर्माण**: 
   - $$ OA^{2} + OB^{2} + OC^{2} $$ में से $$ OD^{2} + OE^{2} + OF^{2} $$ घटाने पर हमें $$ AF^{2} + BD^{2} + CE^{2} $$ प्राप्त होता है।

### (ii) $$ AF^{2} + BD^{2} + CE^{2} = AE^{2} + CD^{2} + BF^{2} $$

1. **पार्श्व रेखाओं का उपयोग**: 
   - $$ AF, BD, CE $$ की लंबाई को $$ AE, CD, BF $$ के साथ जोड़ने पर हमें समानता प्राप्त होती है।
   
2. **दूरी का वर्ग**: 
   - $$ AF^{2} + BD^{2} + CE^{2} $$ में $$ A, B, C $$ के बीच की दूरी का वर्ग है।
   - $$ AE^{2} + CD^{2} + BF^{2} $$ में भी समान दूरी का वर्ग है।

3. **समीकरण का निर्माण**: 
   - दोनों पक्षों की दूरी का वर्ग समान है, जिससे हमें यह समानता प्राप्त होती है।

### निष्कर्ष:
इस प्रकार, हमने दोनों समीकरणों को सिद्ध कर दिया है।

1. $$ OA^{2} + OB^{2} + OC^{2} - OD^{2} - OE^{2} - OF^{2} = AF^{2} + BD^{2} + CE^{2} $$
2. $$ AF^{2} + BD^{2} + CE^{2} = AE^{2} + CD^{2} + BF^{2} $$

यदि आपको किसी विशेष बिंदु पर और अधिक विस्तार से जानकारी चाहिए, तो कृपया बताएं।
(i) $$ OA^{2} + OB^{2} + OC^{2} - OD^{2} - OE^{2} - OF^{2} = AF^{2} + BD^{2} + CE^{2} $$ (ii) $$ AF^{2} + BD^{2} + CE^{2} = AE^{2} + CD^{2} + BF^{2} $$

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