3.73 e•• Em uma partida de futebol da Copa do Mundo, José está correndo para o gol na direção norte, com velocidade de \( 8,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \) em relação ao solo. Um jogador do seu time passa a bola para ele. A bola tem velocidade de \( 12,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \) e se move em uma direção de \( 37,0^{\circ} \) a nordeste em relação ao solo. Quais são o módulo e a direção da velocidade da bola em relação a José?

Para determinar a velocidade da bola em relação a José, devemos calcular a velocidade relativa utilizando a seguinte fórmula: \[ \vec{v}_{\text{bola/José}} = \vec{v}_{\text{bola/solo}} - \vec{v}_{\text{José/solo}} \] ### Passo 1: Decompor as Velocidades em Componentes Considerando o sistema de coordenadas onde o Norte corresponde ao eixo \( y \) e o Leste ao eixo \( x \): 1. **Velocidade de José:** \[ \vec{v}_{\text{José/solo}} = (0, 8,0 \, \text{m/s}) \] 2. **Velocidade da Bola:** A bola se move a \( 37,0^{\circ} \) a nordeste, o que significa \( 37,0^{\circ} \) a leste do norte. \[ v_{\text{bola,x}} = 12,0 \, \text{m/s} \times \sin(37,0^{\circ}) \approx 12,0 \times 0,6018 \approx 7,222 \, \text{m/s} \] \[ v_{\text{bola,y}} = 12,0 \, \text{m/s} \times \cos(37,0^{\circ}) \approx 12,0 \times 0,7986 \approx 9,583 \, \text{m/s} \] \[ \vec{v}_{\text{bola/solo}} = (7,222 \, \text{m/s}, 9,583 \, \text{m/s}) \] ### Passo 2: Calcular a Velocidade Relativa \[ \vec{v}_{\text{bola/José}} = (7,222 \, \text{m/s} - 0, \text{m/s}, 9,583 \, \text{m/s} - 8,0 \, \text{m/s}) = (7,222 \, \text{m/s}, 1,583 \, \text{m/s}) \] ### Passo 3: Determinar o Módulo da Velocidade Relativa \[ |\vec{v}_{\text{bola/José}}| = \sqrt{(7,222)^2 + (1,583)^2} \approx \sqrt{52,21 + 2,506} \approx \sqrt{54,72} \approx 7,39 \, \text{m/s} \] Arredondando: \[ |\vec{v}_{\text{bola/José}}| \approx 7,4 \, \text{m/s} \] ### Passo 4: Determinar a Direção da Velocidade Relativa \[ \theta = \arctan\left(\frac{7,222}{1,583}\right) \approx \arctan(4,564) \approx 77,6^{\circ} \] Esta direção é medida a leste do norte. ### Resposta Final A velocidade da bola em relação a José possui um módulo de aproximadamente **7,4 m/s** e está dirigida a **77,6° a leste do norte**.