3.73 e•• Em uma partida de futebol da Copa do Mundo, José
está correndo para o gol na direção norte, com velocidade de
em relação ao solo. Um jogador do seu time passa a
bola para ele. A bola tem velocidade de e se move em
uma direção de a nordeste em relação ao solo. Quais são
o módulo e a direção da velocidade da bola em relação a José?

Ask by Munoz Fuentes. in Brazil

Jan 20,2025

Question

3.73 e•• Em uma partida de futebol da Copa do Mundo, José
está correndo para o gol na direção norte, com velocidade de
em relação ao solo. Um jogador do seu time passa a
bola para ele. A bola tem velocidade de e se move em
uma direção de a nordeste em relação ao solo. Quais são
o módulo e a direção da velocidade da bola em relação a José?

Ask by Munoz Fuentes. in Brazil

Jan 20,2025

UpStudy AI · Accepted Answer

Para determinar a velocidade da bola em relação a José, devemos calcular a velocidade relativa utilizando a seguinte fórmula:

$$
\vec{v}_{\text{bola/José}} = \vec{v}_{\text{bola/solo}} - \vec{v}_{\text{José/solo}}
$$

### Passo 1: Decompor as Velocidades em Componentes
Considerando o sistema de coordenadas onde o Norte corresponde ao eixo $$ y $$ e o Leste ao eixo $$ x $$:

1. **Velocidade de José:**
   $$
   \vec{v}_{\text{José/solo}} = (0, 8,0 \, \text{m/s})
   $$

2. **Velocidade da Bola:**
   A bola se move a $$ 37,0^{\circ} $$ a nordeste, o que significa $$ 37,0^{\circ} $$ a leste do norte.
   $$
   v_{\text{bola,x}} = 12,0 \, \text{m/s} \times \sin(37,0^{\circ}) \approx 12,0 \times 0,6018 \approx 7,222 \, \text{m/s}
   $$
   $$
   v_{\text{bola,y}} = 12,0 \, \text{m/s} \times \cos(37,0^{\circ}) \approx 12,0 \times 0,7986 \approx 9,583 \, \text{m/s}
   $$
   $$
   \vec{v}_{\text{bola/solo}} = (7,222 \, \text{m/s}, 9,583 \, \text{m/s})
   $$

### Passo 2: Calcular a Velocidade Relativa
$$
\vec{v}_{\text{bola/José}} = (7,222 \, \text{m/s} - 0, \text{m/s}, 9,583 \, \text{m/s} - 8,0 \, \text{m/s}) = (7,222 \, \text{m/s}, 1,583 \, \text{m/s})
$$

### Passo 3: Determinar o Módulo da Velocidade Relativa
$$
|\vec{v}_{\text{bola/José}}| = \sqrt{(7,222)^2 + (1,583)^2} \approx \sqrt{52,21 + 2,506} \approx \sqrt{54,72} \approx 7,39 \, \text{m/s}
$$

Arredondando:
$$
|\vec{v}_{\text{bola/José}}| \approx 7,4 \, \text{m/s}
$$

### Passo 4: Determinar a Direção da Velocidade Relativa
$$
\theta = \arctan\left(\frac{7,222}{1,583}\right) \approx \arctan(4,564) \approx 77,6^{\circ}
$$
Esta direção é medida a leste do norte.

### Resposta Final
A velocidade da bola em relação a José possui um módulo de aproximadamente **7,4 m/s** e está dirigida a **77,6° a leste do norte**.
A velocidade da bola em relação a José é de aproximadamente **7,4 m/s** e está dirigida a **77,6° a leste do norte**.

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