(9) La suma de dos números es 270 y, cuando se le añade
65 a cada uno de ellos, su razón es . Determina la
diferencia positiva de esos números.

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(9) La suma de dos números es 270 y, cuando se le añade 65 a cada uno de ellos, su razón es $$ \frac{3}{5} $$. Determina la diferencia positiva de esos números.

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Sean los dos números $$ x $$ e $$ y $$ con la condición:
$$
x+y=270.
$$
Al sumarle 65 a cada uno, la razón es:
$$
\frac{x+65}{y+65}=\frac{3}{5}.
$$

**Paso 1.** Expresar $$ x $$ en función de $$ y $$:
$$
x=270-y.
$$

**Paso 2.** Sustituir en la razón:
$$
\frac{(270-y)+65}{y+65}=\frac{3}{5}.
$$
Simplificando el numerador:
$$
\frac{335-y}{y+65}=\frac{3}{5}.
$$

**Paso 3.** Resolver la ecuación por medio de la regla de tres:
$$
5(335-y)=3(y+65).
$$
Desarrollamos ambos lados:
$$
1675-5y=3y+195.
$$

**Paso 4.** Reorganizar para despejar $$ y $$:
$$
1675-195=3y+5y,
$$
$$
1480=8y,
$$
$$
y=\frac{1480}{8}=185.
$$

**Paso 5.** Encontrar $$ x $$:
$$
x=270-y=270-185=85.
$$

**Paso 6.** Determinar la diferencia positiva de los números:
$$
\text{Diferencia} = |185-85|=100.
$$

Por lo tanto, la diferencia positiva de esos números es $$ 100 $$.
Los dos números son 185 y 85, y su diferencia positiva es 100.

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