$$ \log _ { 2 \sqrt { 2 } } ( \frac { 1 } { 156 } ) \rightarrow $$

Question

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Seja
$$
x=\log_{2\sqrt{2}}\left(\frac{1}{156}\right)
$$
Isso significa que
$$
(2\sqrt{2})^x=\frac{1}{156}
$$

**Passo 1 – Reescrever a base em potência de 2:**

Note que
$$
2\sqrt{2}=2\cdot2^{\frac{1}{2}}=2^{1+\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{2}}
$$
Então a equação se torna:
$$
\left(2^{\frac{3}{2}}\right)^x=2^{\frac{3x}{2}}=\frac{1}{156}
$$

**Passo 2 – Aplicar o logaritmo de base 2:**

Tomando logaritmo de ambos os lados (base 2), temos:
$$
\log_2\left(2^{\frac{3x}{2}}\right)=\log_2\left(\frac{1}{156}\right)
$$
Utilizando a propriedade do logaritmo, obtemos:
$$
\frac{3x}{2}=\log_2\left(\frac{1}{156}\right)
$$
Lembrando que
$$
\log_2\left(\frac{1}{156}\right)=-\log_2(156)
$$
portanto,
$$
\frac{3x}{2}=-\log_2(156)
$$

**Passo 3 – Isolar $$ x $$:**

Multiplicando ambos os lados por $$\frac{2}{3}$$, temos:
$$
x=-\frac{2}{3}\log_2(156)
$$

Portanto,
$$
\boxed{\log_{2\sqrt{2}}\left(\frac{1}{156}\right)=-\frac{2}{3}\log_2(156)}
$$
$$ \log_{2\sqrt{2}}\left(\frac{1}{156}\right) = -\frac{2}{3}\log_2(156) $$

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