$$ \frac { \sqrt[ 3 ] { ( 9 + \sqrt { 82 } ) ^ { 2 } } } { \sqrt[ 3 ] { 9 - \sqrt { 82 } } } + \sqrt { 82 } $$

Question

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我们需要简化以下表达式：

$$
\frac{\sqrt[3]{(9 + \sqrt{82})^2}}{\sqrt[3]{9 - \sqrt{82}}} + \sqrt{82}
$$

**步骤如下：**

1. **设定变量：**
   
   设 $$ a = 9 + \sqrt{82} $$，则分母中的 $$ 9 - \sqrt{82} $$ 可以表示为 $$ b = 9 - \sqrt{82} $$。

2. **计算 $$ a $$ 和 $$ b $$ 的乘积：**
   
   $$
   a \times b = (9 + \sqrt{82})(9 - \sqrt{82}) = 9^2 - (\sqrt{82})^2 = 81 - 82 = -1
   $$
   
   因此，$$ b = -\frac{1}{a} $$。

3. **简化原始表达式：**
   
   原表达式可以重写为：
   
   $$
   \frac{\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{b}} + \sqrt{82} = \sqrt[3]{\frac{a^2}{b}} + \sqrt{82}
   $$
   
   代入 $$ b = -\frac{1}{a} $$：
   
   $$
   \sqrt[3]{\frac{a^2}{-1/a}} = \sqrt[3]{-a^3} = -a
   $$
   
   因此，表达式简化为：
   
   $$
   -a + \sqrt{82} = -(9 + \sqrt{82}) + \sqrt{82} = -9
   $$

**最终结果：**

$$
-9
$$
最终结果是 $$-9$$。

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