xercice $$ 01(03 \mathrm{pts}) $$ : oit une onde EM monochromatique de longueur d'onde $$ \lambda $$ se déplaçant dans le vide dans la dir $$ \left.2 \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{y}}}+3 \overrightarrow{\mathrm{u}_{\mathrm{z}}}\right) $$. On supposera que cette onde est polarisée rectilignement suivant $$ \overline{\mathrm{u}_{\mathrm{x}}} $$. 1- Quel est le vecteur d'onde associé a cette onde ? Ecrire en notation complexc l'express champ électrique. 2- Déterminer le champ magnétique. Déduire la relation de dispersion dans le vide.

Question

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**Exercice 01 (03 pts) :**

Une onde électromagnétique (EM) monochromatique de longueur d'onde $$ \lambda $$ se déplaçant dans le vide dans la direction $$ 2 \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{y}}} + 3 \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{z}}} $$ et polarisée rectiligne selon $$ \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{x}}} $$.

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**1. Vecteur d'onde et expression du champ électrique**

**Vecteur d'onde ($$ \vec{k} $$) :**

Le vecteur d'onde $$ \vec{k} $$ est orienté dans la direction de propagation de l'onde. Sa direction est donnée par $$ 2 \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{y}}} + 3 \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{z}}} $$.

La norme du vecteur direction est:
$$
|\vec{d}| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}
$$

Ainsi, le vecteur d'onde est:
$$
\vec{k} = \frac{2 \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{y}}} + 3 \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{z}}}}{\sqrt{13}} \cdot \frac{2\pi}{\lambda}
$$
où $$ \frac{2\pi}{\lambda} $$ est le module de $$ \vec{k} $$ dans le vide.

**Expression complexe du champ électrique ($$ \vec{E} $$) :**

L'onde est polarisée selon $$ \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{x}}} $$. L'expression complexe du champ électrique est donc:
$$
\vec{E}(\vec{r}, t) = E_0 \, \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{x}}} \, e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)}
$$
où :
- $$ E_0 $$ est l'amplitude du champ électrique,
- $$ \vec{r} $$ est le vecteur position,
- $$ \omega $$ est la pulsation de l'onde.

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**2. Champ magnétique et relation de dispersion**

**Champ magnétique ($$ \vec{B} $$) :**

Dans le vide, le champ magnétique est lié au champ électrique par la relation:
$$
\vec{B} = \frac{1}{c} \hat{k} \times \vec{E}
$$
où $$ \hat{k} $$ est le vecteur unitaire dans la direction de $$ \vec{k} $$, et $$ c $$ est la vitesse de la lumière dans le vide.

Calculons le produit vectoriel:
$$
\hat{k} = \frac{2 \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{y}}} + 3 \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{z}}}}{\sqrt{13}}
$$
$$
\vec{E} = E_0 \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{x}}} \, e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)}
$$
$$
\hat{k} \times \vec{E} = \frac{2 \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{y}}} + 3 \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{z}}}}{\sqrt{13}} \times E_0 \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{x}}} = \frac{2 (\overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{y}}} \times \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{x}}}) + 3 (\overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{z}}} \times \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{x}}})}{\sqrt{13}} E_0 e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)}
$$
Sachant que :
$$
\overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{y}}} \times \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{x}}} = -\overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{z}}}, \quad \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{z}}} \times \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{x}}} = \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{y}}}
$$
On obtient :
$$
\vec{B} = \frac{1}{c} \left( \frac{ -2 \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{z}}} + 3 \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{y}}} }{\sqrt{13}} \right) E_0 e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)}
$$

**Relation de dispersion dans le vide :**

Dans le vide, la relation de dispersion liant la fréquence $$ \omega $$ et le vecteur d'onde $$ \vec{k} $$ est donnée par:
$$
\omega = c |\vec{k}|
$$
où $$ |\vec{k}| = \frac{2\pi}{\lambda} $$. Donc:
$$
\omega = c \cdot \frac{2\pi}{\lambda}
$$

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**Résumé des réponses :**

1. **Vecteur d'onde et champ électrique :**
   $$
   \vec{k} = \frac{2 \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{y}}} + 3 \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{z}}}}{\sqrt{13}} \cdot \frac{2\pi}{\lambda}
   $$
   $$
   \vec{E}(\vec{r}, t) = E_0 \, \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{x}}} \, e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)}
   $$

2. **Champ magnétique et relation de dispersion :**
   $$
   \vec{B} = \frac{E_0}{c} \left( \frac{3 \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{y}}} - 2 \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{z}}}}{\sqrt{13}} \right) e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)}
   $$
   $$
   \omega = c \cdot \frac{2\pi}{\lambda}
   $$

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**Exercice 01 (03 pts) :** 1. **Vecteur d'onde et champ électrique :** - **Vecteur d'onde ($$ \vec{k} $$) :** $$ \vec{k} = \frac{2 \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{y}}} + 3 \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{z}}}}{\sqrt{13}} \cdot \frac{2\pi}{\lambda} $$ - **Champ électrique ($$ \vec{E} $$) :** $$ \vec{E}(\vec{r}, t) = E_0 \, \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{x}}} \, e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)} $$ 2. **Champ magnétique et relation de dispersion :** - **Champ magnétique ($$ \vec{B} $$) :** $$ \vec{B} = \frac{E_0}{c} \left( \frac{3 \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{y}}} - 2 \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{z}}}}{\sqrt{13}} \right) e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)} $$ - **Relation de dispersion :** $$ \omega = c \cdot \frac{2\pi}{\lambda} $$ **Résumé :** - Le vecteur d'onde est calculé en normalisant la direction de propagation et en utilisant la longueur d'onde $$ \lambda $$. - L'expression complexe du champ électrique est donnée en fonction de l'amplitude $$ E_0 $$ et du vecteur d'onde $$ \vec{k} $$. - Le champ magnétique est déterminé en utilisant la relation entre le champ électrique et le champ magnétique dans le vide. - La relation de dispersion montre la relation entre la fréquence $$ \omega $$ et la longueur d'onde $$ \lambda $$ dans le vide.

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