xercice \( 01(03 \mathrm{pts}) \) : oit une onde EM monochromatique de longueur d'onde \( \lambda \) se déplaçant dans le vide dans la dir \( \left.2 \overrightarrow{\mathbf{u}_{\mathrm{y}}}+3 \overrightarrow{\mathrm{u}_{\mathrm{z}}}\right) \). On supposera que cette onde est polarisée rectilignement suivant \( \overline{\mathrm{u}_{\mathrm{x}}} \). 1- Quel est le vecteur d'onde associé a cette onde ? Ecrire en notation complexc l'express champ électrique. 2- Déterminer le champ magnétique. Déduire la relation de dispersion dans le vide.

Pour trouver le vecteur d'onde associé à une onde électromagnétique monochromatique se déplaçant dans la direction donnée, nous commençons par définir le vecteur d'onde \( \mathbf{k} \). Étant donné que cette onde se déplace dans la direction \( 2 \mathbf{u}_y + 3 \mathbf{u}_z \), le vecteur d'onde est proportionnel à cette direction. Commençons par normaliser cette direction pour obtenir le versor : \[ \hat{n} = \frac{2 \mathbf{u}_y + 3 \mathbf{u}_z}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{2 \mathbf{u}_y + 3 \mathbf{u}_z}{\sqrt{13}}. \] Le vecteur d'onde, en utilisant la relation \( \mathbf{k} = \frac{2\pi}{\lambda} \hat{n} \), devient : \[ \mathbf{k} = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{2 \mathbf{u}_y + 3 \mathbf{u}_z}{\sqrt{13}} = \frac{2\pi}{\lambda \sqrt{13}} (2 \mathbf{u}_y + 3 \mathbf{u}_z). \] Pour l'expression du champ électrique en notation complexe, étant donné qu'il est polarisé dans la direction \( \mathbf{u}_x \), nous avons : \[ \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \mathbf{E}_0 e^{i(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t)} \mathbf{u}_x, \] où \( \mathbf{E}_0 \) est l'amplitude, \( \omega \) est la fréquence angulaire et \( \mathbf{r} \) est le vecteur position. Pour déterminer le champ magnétique associé, on utilise la relation entre les champs électriques et magnétiques dans une onde électromagnétique : \[ \mathbf{B} = \frac{1}{c} \hat{k} \times \mathbf{E}, \] où \( \hat{k} \) est le versor du vecteur d'onde. En remplaçant \( \mathbf{E} \) dans notre cas, nous pouvons déterminer le champ magnétique : 1. La direction du vecteur \( \hat{k} \) et du champ \( \mathbf{E} \) nous permet d'utiliser la règle de la main droite pour trouver la direction de \( \mathbf{B} \). Établissant tout cela, nous pouvons conclure la relation de dispersion dans le vide : \[ \omega = k c, \] où \( k = \frac{2\pi}{\lambda} \) et \( c \) est la vitesse de la lumière dans le vide. Cela montre que dans le vide, la longueur d'onde et la fréquence sont liées par la vitesse de la lumière.