254 Determina il punto \( P \) dell'asse \( y \) che forma con \( A(2,-3) \) e \( B(4,2) \) un triangolo isoscele sulla base \( A B \).

Per determinare il punto \( P \) sull'asse \( y \) che forma con i punti \( A(2, -3) \) e \( B(4, 2) \) un triangolo isoscele avendo \( AB \) come base, seguiamo i seguenti passaggi: 1. **Coordinate di \( P \):** Poiché \( P \) si trova sull'asse \( y \), le sue coordinate sono \( P(0, y) \). 2. **Calcolo delle distanze \( PA \) e \( PB \):** - Distanza tra \( P \) e \( A \): \[ PA = \sqrt{(0 - 2)^2 + (y - (-3))^2} = \sqrt{4 + (y + 3)^2} \] - Distanza tra \( P \) e \( B \): \[ PB = \sqrt{(0 - 4)^2 + (y - 2)^2} = \sqrt{16 + (y - 2)^2} \] 3. **Condizione di isoscelità:** Perché il triangolo sia isoscele con base \( AB \), le due lati \( PA \) e \( PB \) devono essere congruenti: \[ PA = PB \] Quindi: \[ \sqrt{4 + (y + 3)^2} = \sqrt{16 + (y - 2)^2} \] 4. **Risoluzione dell'equazione:** Eleviamo al quadrato entrambi i membri dell'equazione per eliminare le radici: \[ 4 + (y + 3)^2 = 16 + (y - 2)^2 \] Espandiamo i quadrati: \[ 4 + y^2 + 6y + 9 = 16 + y^2 - 4y + 4 \] Semplifichiamo: \[ 13 + 6y = 20 - 4y \] Portiamo tutte le \( y \) da un lato e i termini costanti dall'altro: \[ 10y = 7 \] Dividiamo per 10: \[ y = \frac{7}{10} = 0{,}7 \] 5. **Conclusione:** Il punto \( P \) sull'asse \( y \) che soddisfa le condizioni è: \[ P(0, \, 0{,}7) \]