En un triángulo reotángulo la hipotenusa mide 15 cm y une de los ángulos agudos \( 54^{\circ} 25^{\prime} \). Hallar la longitud del cateto opuesto a dicho ángulo.

Para resolver el problema, utilizaremos las relaciones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Dado que conocemos la hipotenusa y un ángulo agudo, podemos emplear la función seno para encontrar el cateto opuesto. **Datos:** - Hipotenusa (\( h \)) = 15 cm - Ángulo agudo (\( \theta \)) = \( 54^{\circ} 25' \) **Paso 1: Convertir los minutos a grados decimales** \[ 25' = \frac{25}{60} = 0.4167^{\circ} \] Por lo tanto: \[ \theta = 54^{\circ} + 0.4167^{\circ} = 54.4167^{\circ} \] **Paso 2: Aplicar la relación trigonométrica del seno** \[ \sin(\theta) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} \] Despejamos el cateto opuesto (\( a \)): \[ a = h \cdot \sin(\theta) = 15 \, \text{cm} \cdot \sin(54.4167^{\circ}) \] **Paso 3: Calcular el seno de \( 54.4167^{\circ} \)** Usando una calculadora: \[ \sin(54.4167^{\circ}) \approx 0.8133 \] **Paso 4: Calcular el cateto opuesto** \[ a = 15 \, \text{cm} \cdot 0.8133 \approx 12.2 \, \text{cm} \] **Respuesta:** La longitud del cateto opuesto al ángulo de \( 54^{\circ}25' \) es aproximadamente **12.2 cm**.