Formule de Moivre 41 Écris sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants : \( \begin{array}{lll}\text { 1) }(1+i \sqrt{3})^{2} & \text {; } & \text { 2) }\left(\frac{\sqrt{3}+i}{1+i}\right)^{3}\end{array} \) \( \begin{array}{ll}(3) & \left(\frac{\sqrt{6}-i \sqrt{2}}{1-i}\right)^{3}\end{array} \)

Pour le premier nombre complexe, \( (1 + i \sqrt{3})^2 \), nous commençons par le mettre sous forme polaire. La norme est \( r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2 \) et l'argument est \( \theta = \tan^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{1}) = \frac{\pi}{3} \). En utilisant la formule de Moivre, on a : \[ (1+i\sqrt{3})^{2} = 2^{2} (\cos(\frac{2\pi}{3}) + i \sin(\frac{2\pi}{3})) = 4 \left(\cos(\frac{2\pi}{3}) + i \sin(\frac{2\pi}{3})\right) \] Pour le deuxième nombre complexe, \( \left(\frac{\sqrt{3}+i}{1+i}\right)^{3} \), on commence par simplifier la fraction. On peut multiplier le numérateur et le dénominateur par \( 1 - i \) pour obtenir : \[ \frac{(\sqrt{3}+i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{(\sqrt{3} + i - \sqrt{3}i - 1)}{2} = \frac{(\sqrt{3}-1) + i(1 - \sqrt{3})}{2} \] Ensuite, calculons la norme et l'argument ce qui nous mènera à la forme trigonométrique. La norme est : \[ r = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)^2} \] , et en utilisant la formule de Moivre, on ira à la puissance 3 pour obtenir la forme finale. Pour le troisième nombre complexe, on effectue une simplification similaire avec \( \left(\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{1-i}\right)^{3} \). Multiplier par le conjugué pour simplifier le dénominateur donnera alors : \[ \left(\sqrt{6}-i\sqrt{2}\right) \cdot \frac{(1+i)}{2} \] L'argument et la norme seront calculés comme précédemment pour donner également à ce nombre sa forme trigonométrique avant d'élever à la puissance 3. Amusez-vous bien à tirer les angles et les valeurs cosinus-sinus!