11:59 Gio 23 gen \( 38 \% \) I esonero A - A.A. 2016-2017 Apri in Chrome Fine Esercizio 3 Śtabilire per quali valori di \( k \in \mathbb{R}: \) a) i vettori \( v_{1}=(1, k, 1), v_{2}=(-1,2, k) \) e \( v_{3}=(1,0, k) \) generano \( \mathbb{R}^{3} \); b) i vettori \( \hat{v}_{1}=(1, k, 1,1), \hat{v}_{2}=(-1,2, k, 1) \) e \( \hat{v}_{3}=(1,0, k, 1) \) sono linearmente indipendenti in \( \mathbb{R}^{4} \); c) il seguente sistema lineare ammette soluzione: \[ \left\{\begin{array}{l} x+k y+z=1 \\ -x+2 y+k z=1 \\ x+k z=1 . \end{array}\right. \] d) per ogni valore di \( k \) per il quale il sistema precedente ammette soluzione, determinare la dimensione dello spazio delle soluzioni. Suggerimento: non si chiede di determinare le soluzioni.

Certamente! Esaminiamo ciascuna parte dell'esercizio uno per uno. --- ### **a) Determinare per quali valori di \( k \in \mathbb{R} \) i vettori \( v_{1}=(1, k, 1) \), \( v_{2}=(-1,2, k) \) e \( v_{3}=(1,0, k) \) generano \( \mathbb{R}^{3} \).** Affinché i vettori generino \( \mathbb{R}^{3} \), devono essere linearmente indipendenti. Questo è equivalente a richiedere che il determinante della matrice formata da questi vettori sia diverso da zero. Costruiamo la matrice \( A \) con i vettori come colonne: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ k & 2 & 0 \\ 1 & k & k \\ \end{pmatrix} \] Calcoliamo il determinante di \( A \): \[ \det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ k & k \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} k & 0 \\ 1 & k \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} k & 2 \\ 1 & k \end{vmatrix} \] Calcoliamo ciascun minore: \[ \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ k & k \end{vmatrix} = 2k - 0 = 2k \] \[ \begin{vmatrix} k & 0 \\ 1 & k \end{vmatrix} = k \cdot k - 0 \cdot 1 = k^{2} \] \[ \begin{vmatrix} k & 2 \\ 1 & k \end{vmatrix} = k \cdot k - 2 \cdot 1 = k^{2} - 2 \] Sostituendo: \[ \det(A) = 1 \cdot 2k - (-1) \cdot k^{2} + 1 \cdot (k^{2} - 2) = 2k + k^{2} + k^{2} - 2 = 2k^{2} + 2k - 2 \] Poniamo \( \det(A) \neq 0 \): \[ 2k^{2} + 2k - 2 \neq 0 \\ \Rightarrow k^{2} + k - 1 \neq 0 \] Risolviamo l'equazione quadratica \( k^{2} + k - 1 = 0 \): \[ k = \frac{ -1 \pm \sqrt{1 + 4} }{2} = \frac{ -1 \pm \sqrt{5} }{2} \] Pertanto, i vettori \( v_{1} \), \( v_{2} \), e \( v_{3} \) generano \( \mathbb{R}^{3} \) per tutti i valori di \( k \) tranne: \[ k = \frac{ -1 + \sqrt{5} }{2} \quad \text{e} \quad k = \frac{ -1 - \sqrt{5} }{2} \] --- ### **b) Determinare per quali valori di \( k \in \mathbb{R} \) i vettori \( \hat{v}_{1}=(1, k, 1,1) \), \( \hat{v}_{2}=(-1,2, k, 1) \) e \( \hat{v}_{3}=(1,0, k, 1) \) sono linearmente indipendenti in \( \mathbb{R}^{4} \).** In \( \mathbb{R}^{4} \), tre vettori possono essere linearmente indipendenti se nessuno di essi è combinazione lineare degli altri due. Per verificare l'indipendenza lineare, possiamo costruire una matrice con questi vettori come colonne e verificare che il rango della matrice sia 3. Costruiamo la matrice \( B \): \[ B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ k & 2 & 0 \\ 1 & k & k \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} \] Per determinare l'indipendenza, dobbiamo verificare che non esistano scalari \( \alpha, \beta, \gamma \), non tutti nulli, tali che: \[ \alpha \hat{v}_1 + \beta \hat{v}_2 + \gamma \hat{v}_3 = 0 \] Questo porta al sistema omogeneo: \[ \begin{cases} \alpha - \beta + \gamma = 0 \\ k\alpha + 2\beta = 0 \\ \alpha + k\beta + k\gamma = 0 \\ \alpha + \beta + \gamma = 0 \\ \end{cases} \] Osserviamo che le equazioni (1) e (4) sono: \[ \alpha - \beta + \gamma = 0 \quad (1) \\ \alpha + \beta + \gamma = 0 \quad (4) \] Sottraendo (1) da (4): \[ 2\beta = 0 \Rightarrow \beta = 0 \] Con \( \beta = 0 \), dalle equazioni (1) e (4): \[ \alpha + \gamma = 0 \\ \alpha + \gamma = 0 \\ \Rightarrow \alpha = -\gamma \] Dall'equazione (2): \[ k\alpha = 0 \Rightarrow k(-\gamma) = 0 \] Ci sono due casi: 1. **Se \( k \neq 0 \)**: \( \gamma = 0 \), quindi \( \alpha = 0 \). Pertanto, l'unica soluzione è la soluzione banale \( \alpha = \beta = \gamma = 0 \). I vettori sono quindi linearmente indipendenti. 2. **Se \( k = 0 \)**: L'equazione (2) è sempre verificata. Dall'equazione (3): \[ \alpha + 0 \cdot \beta + 0 \cdot \gamma = \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 0 \] Ma \( \alpha = 0 \) implica \( \gamma = 0 \) da (1). Quindi, anche in questo caso, l'unica soluzione è la banale. **Conclusione:** I vettori \( \hat{v}_{1} \), \( \hat{v}_{2} \), e \( \hat{v}_{3} \) sono sempre linearmente indipendenti per ogni \( k \in \mathbb{R} \). --- ### **c) Determinare per quali valori di \( k \) il seguente sistema lineare ammette soluzione:** \[ \left\{ \begin{array}{l} x + k y + z = 1 \\ -x + 2 y + k z = 1 \\ x + k z = 1 \\ \end{array} \right. \] Per determinare l'esistenza di soluzioni, possiamo esprimere il sistema in forma matriciale e analizzare il rango della matrice dei coefficienti e della matrice ampliata. Matrice dei coefficienti \( C \): \[ C = \begin{pmatrix} 1 & k & 1 \\ -1 & 2 & k \\ 1 & 0 & k \\ \end{pmatrix} \] Matrice ampliata \( \tilde{C} \): \[ \tilde{C} = \begin{pmatrix} 1 & k & 1 & | & 1 \\ -1 & 2 & k & | & 1 \\ 1 & 0 & k & | & 1 \\ \end{pmatrix} \] Calcoliamo il determinante della matrice dei coefficienti \( C \): \[ \det(C) = 1 \cdot (2 \cdot k - k \cdot 0) - k \cdot (-1 \cdot k - k \cdot 1) + 1 \cdot (-1 \cdot 0 - 2 \cdot 1) \] Semplificando: \[ \det(C) = 1 \cdot 2k - k \cdot (-k - k) + 1 \cdot (-2) = 2k + 2k^{2} - 2 \] Poniamo \( \det(C) \neq 0 \): \[ 2k^{2} + 2k - 2 \neq 0 \\ \Rightarrow k^{2} + k - 1 \neq 0 \] Le radici dell'equazione quadratica sono: \[ k = \frac{ -1 \pm \sqrt{5} }{2} \] **Caso 1:** Se \( k \neq \frac{ -1 \pm \sqrt{5} }{2} \), allora \( \det(C) \neq 0 \) e il sistema ammette un'unica soluzione. **Caso 2:** Se \( k = \frac{ -1 \pm \sqrt{5} }{2} \), allora \( \det(C) = 0 \). In questo caso, dobbiamo verificare la compatibilità del sistema. Calcoliamo il rango delle matrici \( C \) e \( \tilde{C} \). Se \( k = \frac{ -1 \pm \sqrt{5} }{2} \), calcoliamo se il sistema è compatibile. Solitamente, per valori di \( k \) per cui \( \det(C) = 0 \), il sistema può essere compatibile (con soluzioni infinite) o incompatibile. Verifichiamo se il sistema è compatibile per \( k = \frac{ -1 \pm \sqrt{5} }{2} \). Sostituendo \( k = \frac{ -1 + \sqrt{5} }{2} \) (l'analogo segue per l'altro valore): Ad esempio, prendi il primo e il terzo equazione: \[ x + k z = 1 \Rightarrow x = 1 - k z \] Sostituisci in seconda equazione: \[ - (1 - k z) + 2 y + k z = 1 \\ -1 + k z + 2 y + k z = 1 \\ 2 y + 2k z = 2 \\ y + k z = 1 \] E dalla prima equazione: \[ y = \frac{1 - k z - x}{k} \] Questo indica che esistono soluzioni per questi valori di \( k \), quindi il sistema è compatibile anche quando \( \det(C) = 0 \). **Conclusione:** Il sistema ammette soluzioni per ogni \( k \in \mathbb{R} \). --- ### **d) Per ogni valore di \( k \) per il quale il sistema precedente ammette soluzione, determinare la dimensione dello spazio delle soluzioni.** Dalla parte **c)**, abbiamo visto che il sistema è sempre compatibile per ogni \( k \in \mathbb{R} \). Ora analizziamo la dimensione dello spazio delle soluzioni in base al rango della matrice dei coefficienti \( C \). - **Quando \( \det(C) \neq 0 \):** La matrice \( C \) ha rango 3. Pertanto, il sistema ha una soluzione unica. La dimensione dello spazio delle soluzioni è 0 (solo la soluzione particolare). - **Quando \( \det(C) = 0 \):** La matrice \( C \) ha rango 2 (poiché le tre righe sono linearmente dipendenti). Pertanto, il sistema ha un'infinità di soluzioni. La dimensione dello spazio delle soluzioni è \( n - r = 3 - 2 = 1 \), dove \( n \) è il numero di incognite e \( r \) il rango della matrice. **Riassunto:** - **Per \( k \neq \frac{ -1 \pm \sqrt{5} }{2} \):** Il sistema ha una soluzione unica (dimensione dello spazio delle soluzioni è 0). - **Per \( k = \frac{ -1 \pm \sqrt{5} }{2} \):** Il sistema ha un'infinità di soluzioni (dimensione dello spazio delle soluzioni è 1). --- Spero che queste soluzioni siano chiare e utili!