11:59 Gio 23 gen $$ 38 \% $$ I esonero A - A.A. 2016-2017 Apri in Chrome Fine Esercizio 3 Śtabilire per quali valori di $$ k \in \mathbb{R}: $$ a) i vettori $$ v_{1}=(1, k, 1), v_{2}=(-1,2, k) $$ e $$ v_{3}=(1,0, k) $$ generano $$ \mathbb{R}^{3} $$; b) i vettori $$ \hat{v}_{1}=(1, k, 1,1), \hat{v}_{2}=(-1,2, k, 1) $$ e $$ \hat{v}_{3}=(1,0, k, 1) $$ sono linearmente indipendenti in $$ \mathbb{R}^{4} $$; c) il seguente sistema lineare ammette soluzione: $$ \left\{\begin{array}{l} x+k y+z=1 \ -x+2 y+k z=1 \ x+k z=1 . \end{array}\right. $$ d) per ogni valore di $$ k $$ per il quale il sistema precedente ammette soluzione, determinare la dimensione dello spazio delle soluzioni. Suggerimento: non si chiede di determinare le soluzioni.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Certamente! Esaminiamo ciascuna parte dell'esercizio uno per uno.

---

### **a) Determinare per quali valori di $$ k \in \mathbb{R} $$ i vettori $$ v_{1}=(1, k, 1) $$, $$ v_{2}=(-1,2, k) $$ e $$ v_{3}=(1,0, k) $$ generano $$ \mathbb{R}^{3} $$.**

Affinché i vettori generino $$ \mathbb{R}^{3} $$, devono essere linearmente indipendenti. Questo è equivalente a richiedere che il determinante della matrice formata da questi vettori sia diverso da zero.

Costruiamo la matrice $$ A $$ con i vettori come colonne:

$$
A = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \
k & 2 & 0 \
1 & k & k \
\end{pmatrix}
$$

Calcoliamo il determinante di $$ A $$:

$$
\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \ k & k \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} k & 0 \ 1 & k \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} k & 2 \ 1 & k \end{vmatrix}
$$

Calcoliamo ciascun minore:

$$
\begin{vmatrix} 2 & 0 \ k & k \end{vmatrix} = 2k - 0 = 2k
$$
$$
\begin{vmatrix} k & 0 \ 1 & k \end{vmatrix} = k \cdot k - 0 \cdot 1 = k^{2}
$$
$$
\begin{vmatrix} k & 2 \ 1 & k \end{vmatrix} = k \cdot k - 2 \cdot 1 = k^{2} - 2
$$

Sostituendo:

$$
\det(A) = 1 \cdot 2k - (-1) \cdot k^{2} + 1 \cdot (k^{2} - 2) = 2k + k^{2} + k^{2} - 2 = 2k^{2} + 2k - 2
$$

Poniamo $$ \det(A) \neq 0 $$:

$$
2k^{2} + 2k - 2 \neq 0 \
\Rightarrow k^{2} + k - 1 \neq 0
$$

Risolviamo l'equazione quadratica $$ k^{2} + k - 1 = 0 $$:

$$
k = \frac{ -1 \pm \sqrt{1 + 4} }{2} = \frac{ -1 \pm \sqrt{5} }{2}
$$

Pertanto, i vettori $$ v_{1} $$, $$ v_{2} $$, e $$ v_{3} $$ generano $$ \mathbb{R}^{3} $$ per tutti i valori di $$ k $$ tranne:

$$
k = \frac{ -1 + \sqrt{5} }{2} \quad \text{e} \quad k = \frac{ -1 - \sqrt{5} }{2}
$$

---

### **b) Determinare per quali valori di $$ k \in \mathbb{R} $$ i vettori $$ \hat{v}_{1}=(1, k, 1,1) $$, $$ \hat{v}_{2}=(-1,2, k, 1) $$ e $$ \hat{v}_{3}=(1,0, k, 1) $$ sono linearmente indipendenti in $$ \mathbb{R}^{4} $$.**

In $$ \mathbb{R}^{4} $$, tre vettori possono essere linearmente indipendenti se nessuno di essi è combinazione lineare degli altri due. Per verificare l'indipendenza lineare, possiamo costruire una matrice con questi vettori come colonne e verificare che il rango della matrice sia 3.

Costruiamo la matrice $$ B $$:

$$
B = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 \
k & 2 & 0 \
1 & k & k \
1 & 1 & 1 \
\end{pmatrix}
$$

Per determinare l'indipendenza, dobbiamo verificare che non esistano scalari $$ \alpha, \beta, \gamma $$, non tutti nulli, tali che:

$$
\alpha \hat{v}_1 + \beta \hat{v}_2 + \gamma \hat{v}_3 = 0
$$

Questo porta al sistema omogeneo:

$$
\begin{cases}
\alpha - \beta + \gamma = 0 \
k\alpha + 2\beta = 0 \
\alpha + k\beta + k\gamma = 0 \
\alpha + \beta + \gamma = 0 \
\end{cases}
$$

Osserviamo che le equazioni (1) e (4) sono:

$$
\alpha - \beta + \gamma = 0 \quad (1) \
\alpha + \beta + \gamma = 0 \quad (4)
$$

Sottraendo (1) da (4):

$$
2\beta = 0 \Rightarrow \beta = 0
$$

Con $$ \beta = 0 $$, dalle equazioni (1) e (4):

$$
\alpha + \gamma = 0 \
\alpha + \gamma = 0 \
\Rightarrow \alpha = -\gamma
$$

Dall'equazione (2):

$$
k\alpha = 0 \Rightarrow k(-\gamma) = 0
$$

Ci sono due casi:

1. **Se $$ k \neq 0 $$**:
   
   $$ \gamma = 0 $$, quindi $$ \alpha = 0 $$. Pertanto, l'unica soluzione è la soluzione banale $$ \alpha = \beta = \gamma = 0 $$. I vettori sono quindi linearmente indipendenti.

2. **Se $$ k = 0 $$**:
   
   L'equazione (2) è sempre verificata. Dall'equazione (3):

$$
   \alpha + 0 \cdot \beta + 0 \cdot \gamma = \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 0
   $$
   
   Ma $$ \alpha = 0 $$ implica $$ \gamma = 0 $$ da (1). Quindi, anche in questo caso, l'unica soluzione è la banale.

**Conclusione:** I vettori $$ \hat{v}_{1} $$, $$ \hat{v}_{2} $$, e $$ \hat{v}_{3} $$ sono sempre linearmente indipendenti per ogni $$ k \in \mathbb{R} $$.

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### **c) Determinare per quali valori di $$ k $$ il seguente sistema lineare ammette soluzione:**

$$
\left\{
\begin{array}{l}
x + k y + z = 1 \
-x + 2 y + k z = 1 \
x + k z = 1 \
\end{array}
\right.
$$

Per determinare l'esistenza di soluzioni, possiamo esprimere il sistema in forma matriciale e analizzare il rango della matrice dei coefficienti e della matrice ampliata.

Matrice dei coefficienti $$ C $$:

$$
C = \begin{pmatrix}
1 & k & 1 \
-1 & 2 & k \
1 & 0 & k \
\end{pmatrix}
$$

Matrice ampliata $$ \tilde{C} $$:

$$
\tilde{C} = \begin{pmatrix}
1 & k & 1 & | & 1 \
-1 & 2 & k & | & 1 \
1 & 0 & k & | & 1 \
\end{pmatrix}
$$

Calcoliamo il determinante della matrice dei coefficienti $$ C $$:

$$
\det(C) = 1 \cdot (2 \cdot k - k \cdot 0) - k \cdot (-1 \cdot k - k \cdot 1) + 1 \cdot (-1 \cdot 0 - 2 \cdot 1)
$$

Semplificando:

$$
\det(C) = 1 \cdot 2k - k \cdot (-k - k) + 1 \cdot (-2) = 2k + 2k^{2} - 2
$$

Poniamo $$ \det(C) \neq 0 $$:

$$
2k^{2} + 2k - 2 \neq 0 \
\Rightarrow k^{2} + k - 1 \neq 0
$$

Le radici dell'equazione quadratica sono:

$$
k = \frac{ -1 \pm \sqrt{5} }{2}
$$

**Caso 1:** Se $$ k \neq \frac{ -1 \pm \sqrt{5} }{2} $$, allora $$ \det(C) \neq 0 $$ e il sistema ammette un'unica soluzione.

**Caso 2:** Se $$ k = \frac{ -1 \pm \sqrt{5} }{2} $$, allora $$ \det(C) = 0 $$. In questo caso, dobbiamo verificare la compatibilità del sistema.

Calcoliamo il rango delle matrici $$ C $$ e $$ \tilde{C} $$.

Se $$ k = \frac{ -1 \pm \sqrt{5} }{2} $$, calcoliamo se il sistema è compatibile.

Solitamente, per valori di $$ k $$ per cui $$ \det(C) = 0 $$, il sistema può essere compatibile (con soluzioni infinite) o incompatibile.

Verifichiamo se il sistema è compatibile per $$ k = \frac{ -1 \pm \sqrt{5} }{2} $$.

Sostituendo $$ k = \frac{ -1 + \sqrt{5} }{2} $$ (l'analogo segue per l'altro valore):

Ad esempio, prendi il primo e il terzo equazione:

$$
x + k z = 1 \Rightarrow x = 1 - k z
$$

Sostituisci in seconda equazione:

$$
- (1 - k z) + 2 y + k z = 1 \
-1 + k z + 2 y + k z = 1 \
2 y + 2k z = 2 \
y + k z = 1
$$

E dalla prima equazione:

$$
y = \frac{1 - k z - x}{k}
$$

Questo indica che esistono soluzioni per questi valori di $$ k $$, quindi il sistema è compatibile anche quando $$ \det(C) = 0 $$.

**Conclusione:** Il sistema ammette soluzioni per ogni $$ k \in \mathbb{R} $$.

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### **d) Per ogni valore di $$ k $$ per il quale il sistema precedente ammette soluzione, determinare la dimensione dello spazio delle soluzioni.**

Dalla parte **c)**, abbiamo visto che il sistema è sempre compatibile per ogni $$ k \in \mathbb{R} $$.

Ora analizziamo la dimensione dello spazio delle soluzioni in base al rango della matrice dei coefficienti $$ C $$.

- **Quando $$ \det(C) \neq 0 $$:**

La matrice $$ C $$ ha rango 3. Pertanto, il sistema ha una soluzione unica. La dimensione dello spazio delle soluzioni è 0 (solo la soluzione particolare).

- **Quando $$ \det(C) = 0 $$:**

La matrice $$ C $$ ha rango 2 (poiché le tre righe sono linearmente dipendenti). Pertanto, il sistema ha un'infinità di soluzioni. La dimensione dello spazio delle soluzioni è $$ n - r = 3 - 2 = 1 $$, dove $$ n $$ è il numero di incognite e $$ r $$ il rango della matrice.

**Riassunto:**

- **Per $$ k \neq \frac{ -1 \pm \sqrt{5} }{2} $$:** Il sistema ha una soluzione unica (dimensione dello spazio delle soluzioni è 0).

- **Per $$ k = \frac{ -1 \pm \sqrt{5} }{2} $$:** Il sistema ha un'infinità di soluzioni (dimensione dello spazio delle soluzioni è 1).

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Spero che queste soluzioni siano chiare e utili!
**a) I vettori $$ v_{1}=(1, k, 1) $$, $$ v_{2}=(-1,2, k) $$, e $$ v_{3}=(1,0, k) $$ generano $$ \mathbb{R}^{3} $$ per tutti i valori di $$ k $$ tranne $$ k = \frac{ -1 + \sqrt{5} }{2} $$ e $$ k = \frac{ -1 - \sqrt{5} }{2} $$.** **b) I vettori $$ \hat{v}_{1}=(1, k, 1,1) $$, $$ \hat{v}_{2}=(-1,2, k, 1) $$, e $$ \hat{v}_{3}=(1,0, k, 1) $$ sono sempre linearmente indipendenti in $$ \mathbb{R}^{4} $$ per ogni $$ k \in \mathbb{R} $$.** **c) Il sistema lineare ammette soluzioni per ogni valore di $$ k \in \mathbb{R} $$.** **d)** - **Per $$ k \neq \frac{ -1 \pm \sqrt{5} }{2} $$:** La dimensione dello spazio delle soluzioni è 0 (solo la soluzione unica). - **Per $$ k = \frac{ -

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