88. La diagonale di un rettangolo è congruente al lato di un quadrato di area \( 20,25 \mathrm{~cm}^{2} \) e la dimensione minore è \( 3 / 5 \) della diagonale. Calcola il perimetro e l'area del rettangolo. \( \quad\left[12,6 \mathrm{~cm} ; 9,72 \mathrm{~cm}^{2}\right] \)

Per cominciare, calcoliamo il lato del quadrato. Poiché l'area del quadrato è \( 20,25 \, \text{cm}^2 \), la lunghezza del lato sarà \( \sqrt{20,25} = 4,5 \, \text{cm} \). La diagonale del rettangolo è quindi uguale a \( 4,5 \, \text{cm} \). Sapendo che la dimensione minore del rettangolo è \( \frac{3}{5} \) della diagonale, possiamo calcolare questa dimensione: \( \frac{3}{5} \cdot 4,5 = 2,7 \, \text{cm} \). Ora utilizziamo il Teorema di Pitagora per trovare la dimensione maggiore del rettangolo. Sappiamo che la diagonale (\( d \)) è stata calcolata come \( 4,5 \, \text{cm} \), mentre la dimensione minore (\( a \)) è \( 2,7 \, \text{cm} \). Quindi, \( d^2 = a^2 + b^2 \) diventa: \[ 4,5^2 = 2,7^2 + b^2 \Rightarrow 20,25 = 7,29 + b^2 \Rightarrow b^2 = 20,25 - 7,29 = 12,96 \] Da qui, \( b = \sqrt{12,96} = 3,6 \, \text{cm} \). Ora possiamo calcolare il perimetro (P) e l'area (A) del rettangolo: \[ P = 2(a + b) = 2(2,7 + 3,6) = 2 \cdot 6,3 = 12,6 \, \text{cm} \] \[ A = a \cdot b = 2,7 \cdot 3,6 = 9,72 \, \text{cm}^2 \] Quindi, il perimetro è \( 12,6 \, \text{cm} \) e l'area è \( 9,72 \, \text{cm}^2 \).