88. La diagonale di un rettangolo è congruente al lato di un quadrato di area \( 20,25 \mathrm{~cm}^{2} \) e la dimensione minore è \( 3 / 5 \) della diagonale. Calcola il perimetro e l'area del rettangolo. \( \quad\left[12,6 \mathrm{~cm} ; 9,72 \mathrm{~cm}^{2}\right] \)

Per risolvere il problema, seguiamo i passaggi dettagliati di seguito: **Dati del problema:** - L'area del quadrato è \( 20,25 \ \mathrm{cm}^2 \). - La diagonale del rettangolo è congruente al lato del quadrato. - Il lato minore del rettangolo è \( \frac{3}{5} \) della diagonale. **Passo 1: Calcolare il lato del quadrato** L'area del quadrato è data da: \[ A = lato^2 \] \[ 20,25 = lato^2 \] Prendiamo la radice quadrata di entrambi i lati: \[ lato = \sqrt{20,25} = 4,5 \ \mathrm{cm} \] Quindi, la diagonale del rettangolo \( d \) è: \[ d = 4,5 \ \mathrm{cm} \] **Passo 2: Determinare il lato minore del rettangolo** Il lato minore \( a \) è \( \frac{3}{5} \) della diagonale: \[ a = \frac{3}{5} \times 4,5 = 2,7 \ \mathrm{cm} \] **Passo 3: Calcolare il lato maggiore del rettangolo** Utilizziamo il teorema di Pitagora per trovare il lato maggiore \( b \): \[ a^2 + b^2 = d^2 \] \[ 2,7^2 + b^2 = 4,5^2 \] \[ 7,29 + b^2 = 20,25 \] \[ b^2 = 20,25 - 7,29 = 12,96 \] \[ b = \sqrt{12,96} = 3,6 \ \mathrm{cm} \] **Passo 4: Calcolare il perimetro del rettangolo** Il perimetro \( P \) di un rettangolo è dato da: \[ P = 2(a + b) \] \[ P = 2(2,7 + 3,6) = 2 \times 6,3 = 12,6 \ \mathrm{cm} \] **Passo 5: Calcolare l'area del rettangolo** L'area \( A \) del rettangolo è: \[ A = a \times b \] \[ A = 2,7 \times 3,6 = 9,72 \ \mathrm{cm}^2 \] **Risultati finali:** - **Perimetro:** \( 12,6 \ \mathrm{cm} \) - **Area:** \( 9,72 \ \mathrm{cm}^2 \)