6. Considera a função quadrática, $$ f $$, definida, em $$ \mathbb{R} $$, por $$ f(x)=\left(2-p^{2} ight) x^{2}+p x+2 $$, com $$ p \in $$ $$ \mathbb{R} \backslash\{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\} $$. 6.1. Determina o conjunto dos valores de $$ p $$ para os quais a função tem concavidade voltada para baixo. Apresenta a tua resposta na forma de intervalo ou reunião de intervalos de números reais. 6.2. Sabe-se que a função tem um único zero. Determina o conjunto dos valores de $$ p $$ para os quais isso se verifica. $$ \begin{array}{llll} ext { 6.3. O ponto de coordenadas }(1,-2) ext { pertence a } f ext {. Então } p ext { pode assumir os valores: } \ ext { (A) } & ext { (B) }\{-4,5\} & ext { (C) }(5) & ext { (D) }\{-2,3\}\end{array} $$

Question

6. Considera a função quadrática, $$ f $$, definida, em $$ \mathbb{R} $$, por $$ f(x)=\left(2-p^{2}ight) x^{2}+p x+2 $$, com $$ p \in $$ $$ \mathbb{R} \backslash\{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\} $$. 6.1. Determina o conjunto dos valores de $$ p $$ para os quais a função tem concavidade voltada para baixo. Apresenta a tua resposta na forma de intervalo ou reunião de intervalos de números reais. 6.2. Sabe-se que a função tem um único zero. Determina o conjunto dos valores de $$ p $$ para os quais isso se verifica. $$ \begin{array}{llll}	ext { 6.3. O ponto de coordenadas }(1,-2) 	ext { pertence a } f 	ext {. Então } p 	ext { pode assumir os valores: } \ 	ext { (A) } & 	ext { (B) }\{-4,5\} & 	ext { (C) }(5) & 	ext { (D) }\{-2,3\}\end{array} $$

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Vamos resolver cada uma das partes do problema passo a passo. ### 6.1. Determinar o conjunto dos valores de $$ p $$ para os quais a função tem concavidade voltada para baixo. A concavidade de uma função quadrática $$ f(x) = ax^2 + bx + c $$ é determinada pelo sinal do coeficiente $$ a $$: - Se $$ a > 0 $$, a concavidade é voltada para cima. - Se $$ a < 0 $$, a concavidade é voltada para baixo. Para a função dada: $$ f(x) = (2 - p^{2})x^{2} + px + 2 $$ O coeficiente de $$ x^2 $$ é $$ a = 2 - p^{2} $$. Queremos que a concavidade seja voltada para baixo, isto é, $$ a < 0 $$: $$ 2 - p^{2} < 0 \ \Rightarrow p^{2} > 2 \ \Rightarrow |p| > \sqrt{2} $$ Portanto, os valores de $$ p $$ que satisfazem essa condição pertencem aos intervalos: $$ p \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty) $$ ### 6.2. Determinar o conjunto dos valores de $$ p $$ para os quais a função tem um único zero. Uma função quadrática possui um único zero quando o discriminante $$ \Delta $$ é igual a zero. O discriminante é dado por: $$ \Delta = b^{2} - 4ac $$ Para a função $$ f(x) = (2 - p^{2})x^{2} + px + 2 $$: $$ a = 2 - p^{2}, \quad b = p, \quad c = 2 $$ Calculamos $$ \Delta $$: $$ \Delta = p^{2} - 4(2 - p^{2}) \cdot 2 \ \Delta = p^{2} - 8(2 - p^{2}) \ \Delta = p^{2} - 16 + 8p^{2} \ \Delta = 9p^{2} - 16 $$ Para que haja um único zero: $$ \Delta = 0 \ \Rightarrow 9p^{2} - 16 = 0 \ \Rightarrow p^{2} = \frac{16}{9} \ \Rightarrow p = \pm \frac{4}{3} $$ Portanto, o conjunto dos valores de $$ p $$ é: $$ p \in \left\{ -\frac{4}{3}, \frac{4}{3} \right\} $$ ### 6.3. Determinar os valores de $$ p $$ para que o ponto $$ (1, -2) $$ pertença a $$ f $$. Se o ponto $$ (1, -2) $$ pertence à função $$ f $$, então: $$ f(1) = -2 $$ Calculamos $$ f(1) $$: $$ f(1) = (2 - p^{2}) \cdot 1^{2} + p \cdot 1 + 2 \ f(1) = 2 - p^{2} + p + 2 \ f(1) = -p^{2} + p + 4 $$ Igualando a $$ -2 $$: $$ -p^{2} + p + 4 = -2 \ \Rightarrow -p^{2} + p + 6 = 0 \ \Rightarrow p^{2} - p - 6 = 0 $$ Resolvemos a equação quadrática: $$ p = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} \ p = \frac{1 \pm 5}{2} \ $$ Assim, as soluções são: $$ p = 3 \quad \text{ou} \quad p = -2 $$ Portanto, $$ p $$ pode assumir os valores: $$ p \in \{-2, 3\} $$ **Resposta correta:** (D) $$\{-2, 3\}$$ **Respostas:** 1. **6.1:** $$ p \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty) $$ 2. **6.2:** $$ p \in \left\{ -\frac{4}{3}, \frac{4}{3} \right\} $$ 3. **6.3:** $$ p \in \{-2, 3\} $$

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