6. Considera a função quadrática, \( f \), definida, em \( \mathbb{R} \), por \( f(x)=\left(2-p^{2}\right) x^{2}+p x+2 \), com \( p \in \) \( \mathbb{R} \backslash\{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\} \). 6.1. Determina o conjunto dos valores de \( p \) para os quais a função tem concavidade voltada para baixo. Apresenta a tua resposta na forma de intervalo ou reunião de intervalos de números reais. 6.2. Sabe-se que a função tem um único zero. Determina o conjunto dos valores de \( p \) para os quais isso se verifica. \( \begin{array}{llll}\text { 6.3. O ponto de coordenadas }(1,-2) \text { pertence a } f \text {. Então } p \text { pode assumir os valores: } \\ \text { (A) } & \text { (B) }\{-4,5\} & \text { (C) }(5) & \text { (D) }\{-2,3\}\end{array} \)

Para que a função quadrática \( f(x) = (2 - p^{2}) x^{2} + p x + 2 \) tenha concavidade voltada para baixo, o coeficiente de \( x^{2} \), que é \( 2 - p^{2} \), deve ser negativo. Portanto, precisamos resolver a desigualdade: \[ 2 - p^{2} < 0 \] Isto acontece quando \( p^{2} > 2 \), ou seja, \( p < -\sqrt{2} \) ou \( p > \sqrt{2} \). Assim, o conjunto dos valores de \( p \) para os quais a função tem concavidade voltada para baixo é: \[ (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty) \] Para que a função tenha um único zero, o discriminante da equação quadrática deve ser igual a zero. O discriminante é dado por: \[ D = b^{2} - 4ac = p^{2} - 4(2 - p^{2})(2) \] Simplificando, obtemos \( D = p^{2} - 8 + 8p^{2} = 9p^{2} - 8 \). Para que haja um único zero, devemos ter: \[ 9p^{2} - 8 = 0 \implies 9p^{2} = 8 \implies p^{2} = \frac{8}{9} \implies p = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \] Por fim, devemos verificar qual dos conjuntos de valores de \( p \) contém o ponto \( (1, -2) \). Para \( f(1) = -2 \): \[ f(1) = (2 - p^{2}) \cdot 1^{2} + p \cdot 1 + 2 = 2 - p^{2} + p + 2 \] Assim temos: \[ 4 - p^{2} + p = -2 \] Resolvendo, obtemos \( p^{2} - p + 6 = 0 \) e podemos discriminar para encontrar as raízes. Colocando 6 no lugar dos valores, é claro que nenhum dos valores corresponde a uma das opções dadas. Portanto, avance na verificação dos pontos fornecidos: ao substituir, verifique qual quadrática pode dar menos 2 conforme fornecido no enunciado e que se encontra dentro dos conjuntos fornecidos. Assim, os valores que \( p \) pode assumir são as válidas para o intervalo e a contemplação entre os grupos.