Pregunta
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6. Considera a função quadrática, \( f \), definida, em \( \mathbb{R} \), por \( f(x)=\left(2-p^{2}\right) x^{2}+p x+2 \), com \( p \in \) \( \mathbb{R} \backslash\{-\sqrt{2}, \sqrt{2}\} \). 6.1. Determina o conjunto dos valores de \( p \) para os quais a função tem concavidade voltada para baixo. Apresenta a tua resposta na forma de intervalo ou reunião de intervalos de números reais. 6.2. Sabe-se que a função tem um único zero. Determina o conjunto dos valores de \( p \) para os quais isso se verifica. \( \begin{array}{llll}\text { 6.3. O ponto de coordenadas }(1,-2) \text { pertence a } f \text {. Então } p \text { pode assumir os valores: } \\ \text { (A) } & \text { (B) }\{-4,5\} & \text { (C) }(5) & \text { (D) }\{-2,3\}\end{array} \)

Ask by Vaughn Nichols. in Portugal
Jan 23,2025

Solución de tutoría real

Respuesta verificada por el tutor

Responder

**Respostas:** 1. **6.1:** \( p \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty) \) 2. **6.2:** \( p \in \left\{ -\frac{4}{3}, \frac{4}{3} \right\} \) 3. **6.3:** \( p \in \{-2, 3\} \)

Solución

Vamos resolver cada uma das partes do problema passo a passo. ### 6.1. Determinar o conjunto dos valores de \( p \) para os quais a função tem concavidade voltada para baixo. A concavidade de uma função quadrática \( f(x) = ax^2 + bx + c \) é determinada pelo sinal do coeficiente \( a \): - Se \( a > 0 \), a concavidade é voltada para cima. - Se \( a < 0 \), a concavidade é voltada para baixo. Para a função dada: \[ f(x) = (2 - p^{2})x^{2} + px + 2 \] O coeficiente de \( x^2 \) é \( a = 2 - p^{2} \). Queremos que a concavidade seja voltada para baixo, isto é, \( a < 0 \): \[ 2 - p^{2} < 0 \\ \Rightarrow p^{2} > 2 \\ \Rightarrow |p| > \sqrt{2} \] Portanto, os valores de \( p \) que satisfazem essa condição pertencem aos intervalos: \[ p \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty) \] ### 6.2. Determinar o conjunto dos valores de \( p \) para os quais a função tem um único zero. Uma função quadrática possui um único zero quando o discriminante \( \Delta \) é igual a zero. O discriminante é dado por: \[ \Delta = b^{2} - 4ac \] Para a função \( f(x) = (2 - p^{2})x^{2} + px + 2 \): \[ a = 2 - p^{2}, \quad b = p, \quad c = 2 \] Calculamos \( \Delta \): \[ \Delta = p^{2} - 4(2 - p^{2}) \cdot 2 \\ \Delta = p^{2} - 8(2 - p^{2}) \\ \Delta = p^{2} - 16 + 8p^{2} \\ \Delta = 9p^{2} - 16 \] Para que haja um único zero: \[ \Delta = 0 \\ \Rightarrow 9p^{2} - 16 = 0 \\ \Rightarrow p^{2} = \frac{16}{9} \\ \Rightarrow p = \pm \frac{4}{3} \] Portanto, o conjunto dos valores de \( p \) é: \[ p \in \left\{ -\frac{4}{3}, \frac{4}{3} \right\} \] ### 6.3. Determinar os valores de \( p \) para que o ponto \( (1, -2) \) pertença a \( f \). Se o ponto \( (1, -2) \) pertence à função \( f \), então: \[ f(1) = -2 \] Calculamos \( f(1) \): \[ f(1) = (2 - p^{2}) \cdot 1^{2} + p \cdot 1 + 2 \\ f(1) = 2 - p^{2} + p + 2 \\ f(1) = -p^{2} + p + 4 \] Igualando a \( -2 \): \[ -p^{2} + p + 4 = -2 \\ \Rightarrow -p^{2} + p + 6 = 0 \\ \Rightarrow p^{2} - p - 6 = 0 \] Resolvemos a equação quadrática: \[ p = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} \\ p = \frac{1 \pm 5}{2} \\ \] Assim, as soluções são: \[ p = 3 \quad \text{ou} \quad p = -2 \] Portanto, \( p \) pode assumir os valores: \[ p \in \{-2, 3\} \] **Resposta correta:** (D) \(\{-2, 3\}\)

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Bonus Knowledge

Para que a função quadrática \( f(x) = (2 - p^{2}) x^{2} + p x + 2 \) tenha concavidade voltada para baixo, o coeficiente de \( x^{2} \), que é \( 2 - p^{2} \), deve ser negativo. Portanto, precisamos resolver a desigualdade: \[ 2 - p^{2} < 0 \] Isto acontece quando \( p^{2} > 2 \), ou seja, \( p < -\sqrt{2} \) ou \( p > \sqrt{2} \). Assim, o conjunto dos valores de \( p \) para os quais a função tem concavidade voltada para baixo é: \[ (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty) \] Para que a função tenha um único zero, o discriminante da equação quadrática deve ser igual a zero. O discriminante é dado por: \[ D = b^{2} - 4ac = p^{2} - 4(2 - p^{2})(2) \] Simplificando, obtemos \( D = p^{2} - 8 + 8p^{2} = 9p^{2} - 8 \). Para que haja um único zero, devemos ter: \[ 9p^{2} - 8 = 0 \implies 9p^{2} = 8 \implies p^{2} = \frac{8}{9} \implies p = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \] Por fim, devemos verificar qual dos conjuntos de valores de \( p \) contém o ponto \( (1, -2) \). Para \( f(1) = -2 \): \[ f(1) = (2 - p^{2}) \cdot 1^{2} + p \cdot 1 + 2 = 2 - p^{2} + p + 2 \] Assim temos: \[ 4 - p^{2} + p = -2 \] Resolvendo, obtemos \( p^{2} - p + 6 = 0 \) e podemos discriminar para encontrar as raízes. Colocando 6 no lugar dos valores, é claro que nenhum dos valores corresponde a uma das opções dadas. Portanto, avance na verificação dos pontos fornecidos: ao substituir, verifique qual quadrática pode dar menos 2 conforme fornecido no enunciado e que se encontra dentro dos conjuntos fornecidos. Assim, os valores que \( p \) pode assumir são as válidas para o intervalo e a contemplação entre os grupos.

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