My MB über mathebattle Hilfe News Ausloggen eingeloggt als BK-EGBW Aufgabe: (2 Punkte) Gegeben sind zwei zueinander parallele Ebenen $$ \mathrm{E}_{1}:-6 x_{1}-4 x_{2}-8 x_{3}=48 $$ und $$ \mathrm{E}_{2} $$ : $$ 3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}=-120 $$. Die Ebene F ist parallel zu $$ \mathrm{E}_{1} $$ und $$ \mathrm{E}_{2} $$ und hat von beiden Ebenen den gleichen Abstand. Bestimme eine Gleichung der Ebene F. $$ F:+\hat{v} \square x_{1}+\hat{v} \square x_{2}+\hat{v} x_{3}=+\hat{v} \square $$ lösen

Question

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Um die Gleichung der Ebene $$ \mathrm{F} $$ zu bestimmen, die parallel zu den Ebenen $$ \mathrm{E}_{1} $$ und $$ \mathrm{E}_{2} $$ ist und den gleichen Abstand zu beiden Ebenen hat, gehen wir wie folgt vor:

1. **Normale Vektoren bestimmen:**
   Beide Ebenen $$ \mathrm{E}_{1} $$ und $$ \mathrm{E}_{2} $$ sind parallel, da ihre Normalenvektoren proportional sind:
   $$
   \vec{n}_{1} = (-6, -4, -8), \quad \vec{n}_{2} = (3, 2, 4) = -\frac{1}{2} \vec{n}_{1}
   $$

2. **Abstände berechnen:**
   Die allgemeine Ebenengleichung ist $$ \vec{n} \cdot \vec{x} = d $$. Der Abstand $$ d $$ zwischen zwei parallelen Ebenen $$ \mathrm{E}_{1}: \vec{n} \cdot \vec{x} = d_{1} $$ und $$ \mathrm{E}_{2}: \vec{n} \cdot \vec{x} = d_{2} $$ ist:
   $$
   \text{Abstand} = \frac{|d_{2} - d_{1}|}{\|\vec{n}\|}
   $$
   Für $$ \mathrm{E}_{1} $$ und $$ \mathrm{E}_{2} $$:
   $$
   \text{Abstand} = \frac{|240 - 48|}{\sqrt{(-6)^2 + (-4)^2 + (-8)^2}} = \frac{192}{\sqrt{116}} = \frac{96}{\sqrt{29}}
   $$

3. **Ebene $$ \mathrm{F} $$ bestimmen:**
   Da $$ \mathrm{F} $$ den gleichen Abstand zu beiden Ebenen haben soll, liegt sie genau in der Mitte zwischen $$ \mathrm{E}_{1} $$ und $$ \mathrm{E}_{2} $$. Daher der Mittelwert der Konstanten:
   $$
   d_{\mathrm{F}} = \frac{48 + 240}{2} = 144
   $$
   Somit lautet die Gleichung der Ebene $$ \mathrm{F} $$:
   $$
   -6x_{1} - 4x_{2} - 8x_{3} = 144
   $$

**Antwort:**
$$
\boxed{-6\,x_{1} -\,4\,x_{2} -\,8\,x_{3}\;=\;144}
$$
Die Ebene $$ \mathrm{F} $$ hat die Gleichung: $$ -6x_{1} -4x_{2} -8x_{3} = 144 $$

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