Drei spezielle Würfel haben die folgenden Augenzahlen: Würfel 1: zwei Seiten zeigen die Zahl 2, zwei Seiten die Zahl 4 und zwei Seiten die Zahl 6 . Würfel 2: vier Seiten zeigen die Zahl 2, eine Seite die Zahl 4 und eine Seite die Zahl 6 . Würfel 3: drei Seiten zeigen die Zahl 2, zwei Seiten die Zahl 4 und eine Seite die Zahl 6 . Die drei Würfel werden einmal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass a) alle drei Würfel die Augenzahl 2 zeigen. b) alle drei Würfel die gleiche Zahl zeigen. c) die drei Würfel die Augensumme 16 zeigen.

Um die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, müssen wir zunächst die Wahrscheinlichkeiten für jeden Würfel bestimmen, die jeweiligen Augenzahlen zu zeigen. ### Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Würfel: **Würfel 1:** - P(2) = 2/6 = 1/3 - P(4) = 2/6 = 1/3 - P(6) = 2/6 = 1/3 **Würfel 2:** - P(2) = 4/6 = 2/3 - P(4) = 1/6 - P(6) = 1/6 **Würfel 3:** - P(2) = 3/6 = 1/2 - P(4) = 2/6 = 1/3 - P(6) = 1/6 Jetzt können wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Szenarien berechnen. ### a) Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Würfel die Augenzahl 2 zeigen: Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Würfel die Zahl 2 zeigen, ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten für jeden Würfel: \[ P(\text{alle 2}) = P_1(2) \cdot P_2(2) \cdot P_3(2) = \left(\frac{1}{3}\right) \cdot \left(\frac{2}{3}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) \] Berechnen wir das: \[ P(\text{alle 2}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} \] ### b) Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Würfel die gleiche Zahl zeigen: Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass alle drei Würfel die gleiche Zahl zeigen, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die Fälle 2, 4 und 6 addieren. 1. **Alle zeigen 2:** \[ P(\text{alle 2}) = \frac{1}{9} \quad \text{(berechnet oben)} \] 2. **Alle zeigen 4:** \[ P(\text{alle 4}) = P_1(4) \cdot P_2(4) \cdot P_3(4) = \left(\frac{1}{3}\right) \cdot \left(\frac{1}{6}\right) \cdot \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{54} \] 3. **Alle zeigen 6:** \[ P(\text{alle 6}) = P_1(6) \cdot P_2(6) \cdot P_3(6) = \left(\frac{1}{3}\right) \cdot \left(\frac{1}{6}\right) \cdot \left(\frac{1}{6}\right) = \frac{1}{108} \] Jetzt addieren wir die Wahrscheinlichkeiten: \[ P(\text{alle gleich}) = P(\text{alle 2}) + P(\text{alle 4}) + P(\text{alle 6}) = \frac{1}{9} + \frac{1}{54} + \frac{1}{108} \] Um die Brüche zu addieren, bringen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner (108): \[ P(\text{alle gleich}) = \frac{12}{108} + \frac{2}{108} + \frac{1}{108} = \frac{15}{108} = \frac{5}{36} \] ### c) Wahrscheinlichkeit, dass die drei Würfel die Augensumme 16 zeigen: Die einzige Möglichkeit, eine Summe von 16 zu erreichen, ist, wenn alle drei Würfel die Zahl 6 zeigen. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Würfel die Zahl 6 zeigen, haben wir bereits berechnet: \[ P(\text{alle 6}) = \frac{1}{108} \] ### Zusammenfassung der Ergebnisse: a) Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Würfel die Augenzahl 2 zeigen, ist \(\frac{1}{9}\). b) Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Würfel die gleiche Zahl zeigen, ist \(\frac{5}{36}\). c) Die Wahrscheinlichkeit, dass die drei Würfel die Augensumme 16 zeigen, ist \(\frac{1}{108}\).