Drei spezielle Würfel haben die folgenden Augenzahlen: Würfel 1: zwei Seiten zeigen die Zahl 2, zwei Seiten die Zahl 4 und zwei Seiten die Zahl 6 . Würfel 2: vier Seiten zeigen die Zahl 2, eine Seite die Zahl 4 und eine Seite die Zahl 6 . Würfel 3: drei Seiten zeigen die Zahl 2, zwei Seiten die Zahl 4 und eine Seite die Zahl 6 . Die drei Würfel werden einmal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass a) alle drei Würfel die Augenzahl 2 zeigen. b) alle drei Würfel die gleiche Zahl zeigen. c) die drei Würfel die Augensumme 16 zeigen.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Um die Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, müssen wir zunächst die Wahrscheinlichkeiten für jeden Würfel bestimmen, die jeweiligen Augenzahlen zu zeigen.

### Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Würfel:

**Würfel 1:**
- P(2) = 2/6 = 1/3
- P(4) = 2/6 = 1/3
- P(6) = 2/6 = 1/3

**Würfel 2:**
- P(2) = 4/6 = 2/3
- P(4) = 1/6
- P(6) = 1/6

**Würfel 3:**
- P(2) = 3/6 = 1/2
- P(4) = 2/6 = 1/3
- P(6) = 1/6

Jetzt können wir die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Szenarien berechnen.

### a) Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Würfel die Augenzahl 2 zeigen:

Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Würfel die Zahl 2 zeigen, ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten für jeden Würfel:

$$
P(\text{alle 2}) = P_1(2) \cdot P_2(2) \cdot P_3(2) = \left(\frac{1}{3}\right) \cdot \left(\frac{2}{3}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)
$$

Berechnen wir das:

$$
P(\text{alle 2}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}
$$

### b) Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Würfel die gleiche Zahl zeigen:

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass alle drei Würfel die gleiche Zahl zeigen, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten für die Fälle 2, 4 und 6 addieren.

1. **Alle zeigen 2:**
   $$
   P(\text{alle 2}) = \frac{1}{9} \quad \text{(berechnet oben)}
   $$

2. **Alle zeigen 4:**
   $$
   P(\text{alle 4}) = P_1(4) \cdot P_2(4) \cdot P_3(4) = \left(\frac{1}{3}\right) \cdot \left(\frac{1}{6}\right) \cdot \left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{54}
   $$

3. **Alle zeigen 6:**
   $$
   P(\text{alle 6}) = P_1(6) \cdot P_2(6) \cdot P_3(6) = \left(\frac{1}{3}\right) \cdot \left(\frac{1}{6}\right) \cdot \left(\frac{1}{6}\right) = \frac{1}{108}
   $$

Jetzt addieren wir die Wahrscheinlichkeiten:

$$
P(\text{alle gleich}) = P(\text{alle 2}) + P(\text{alle 4}) + P(\text{alle 6}) = \frac{1}{9} + \frac{1}{54} + \frac{1}{108}
$$

Um die Brüche zu addieren, bringen wir sie auf einen gemeinsamen Nenner (108):

$$
P(\text{alle gleich}) = \frac{12}{108} + \frac{2}{108} + \frac{1}{108} = \frac{15}{108} = \frac{5}{36}
$$

### c) Wahrscheinlichkeit, dass die drei Würfel die Augensumme 16 zeigen:

Die einzige Möglichkeit, eine Summe von 16 zu erreichen, ist, wenn alle drei Würfel die Zahl 6 zeigen.

Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Würfel die Zahl 6 zeigen, haben wir bereits berechnet:

$$
P(\text{alle 6}) = \frac{1}{108}
$$

### Zusammenfassung der Ergebnisse:

a) Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Würfel die Augenzahl 2 zeigen, ist $$\frac{1}{9}$$.

b) Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Würfel die gleiche Zahl zeigen, ist $$\frac{5}{36}$$.

c) Die Wahrscheinlichkeit, dass die drei Würfel die Augensumme 16 zeigen, ist $$\frac{1}{108}$$.
a) Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Würfel die Augenzahl 2 zeigen, ist $$\frac{1}{9}$$. b) Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Würfel die gleiche Zahl zeigen, ist $$\frac{5}{36}$$. c) Die Wahrscheinlichkeit, dass die drei Würfel die Augensumme 16 zeigen, ist $$\frac{1}{108}$$.

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