1367. а) $$ 2 \cdot 4^{x}-5 \cdot 2^{x}+2=0 $$ б) $$ 3 \cdot 9^{x}-10 \cdot 3^{x}+3=0 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

а) Решим уравнение $$ 2 \cdot 4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 2 = 0 $$.

**Шаг 1:** Сделаем замену переменной. Пусть $$ y = 2^{x} $$. Тогда $$ 4^{x} = (2^{x})^{2} = y^{2} $$.

**Шаг 2:** Подставим замену в уравнение:
$$
2y^{2} - 5y + 2 = 0
$$

**Шаг 3:** Решим полученное квадратное уравнение относительно $$ y $$.

Вычислим дискриминант:
$$
D = (-5)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9
$$
$$
y = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}
$$

Получаем два корня:
$$
y_1 = \frac{8}{4} = 2
$$
$$
y_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
$$

**Шаг 4:** Вернёмся к переменной $$ x $$.

1. $$ 2^{x} = 2 $$ ⇒ $$ x = 1 $$
2. $$ 2^{x} = \frac{1}{2} = 2^{-1} $$ ⇒ $$ x = -1 $$

**Ответ:** $$ x = 1 $$ и $$ x = -1 $$.

---

б) Решим уравнение $$ 3 \cdot 9^{x} - 10 \cdot 3^{x} + 3 = 0 $$.

**Шаг 1:** Сделаем замену переменной. Пусть $$ z = 3^{x} $$. Тогда $$ 9^{x} = (3^{x})^{2} = z^{2} $$.

**Шаг 2:** Подставим замену в уравнение:
$$
3z^{2} - 10z + 3 = 0
$$

**Шаг 3:** Решим полученное квадратное уравнение относительно $$ z $$.

Вычислим дискриминант:
$$
D = (-10)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64
$$
$$
z = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{10 \pm 8}{6}
$$

Получаем два корня:
$$
z_1 = \frac{18}{6} = 3
$$
$$
z_2 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
$$

**Шаг 4:** Вернёмся к переменной $$ x $$.

1. $$ 3^{x} = 3 $$ ⇒ $$ x = 1 $$
2. $$ 3^{x} = \frac{1}{3} = 3^{-1} $$ ⇒ $$ x = -1 $$

**Ответ:** $$ x = 1 $$ и $$ x = -1 $$.
а) $$ x = 1 $$ и $$ x = -1 $$. б) $$ x = 1 $$ и $$ x = -1 $$.

1367. а) \( 2 \cdot 4^{x}-5 \cdot 2^{x}+2=0 \) б) \( 3 \cdot 9^{x}-10 \cdot 3^{x}+3=0 \)